Matematika/Trapecijos

Trapecija yra plokščia figūra, kuri turi keturias kraštines ir keturis kampus.

Trapecijos plotas

• Trapecijos ABCD, kurios du kampai prie pagrindo d=AD yra statūs, a=AB>CD=c, plotas yra:

$S={\frac {1}{2}}\cdot (AB-CD)\cdot AD+CD\cdot AD={\frac {1}{2}}\cdot (a-c)\cdot d+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}-{\frac {c\cdot d}{2}}+c\cdot d={\frac {a\cdot d}{2}}+{\frac {c\cdot d}{2}}={\frac {d}{2}}(a+c).$

• Tuo atveju, jei $a$ ir $b$ — pagrindai ir $h$ yra aukštis, trapecijos ploto formulė yra:

$S={\frac {(a+b)h}{2}}.$

• Tuo atveju, jei m yra vidurinė linija ir $h$ yra aukštinė, tuomet:

$S=mh.$

• Formulė, kur $a$, $b$ - pagrindai, $c$ ir d yra trapecijos šonai:

$S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-\left({\frac {(b-a)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(b-a)}}\right)^{2}}}.$

• Plotas lygiabriaunės trapecijos su spinduliu įbrėžto apskritimo lygiu $r$ ir kampu prie pagrindo $\alpha$ yra:

$S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}.$

Trapecijos formulės išvedimas, kai žinomos visos kraštinės

Trapecijos pagrindai yra a ir b, b>a. O trapecijos šoninės kraštinės yra c ir d, c>d. Trapecijos aušinė yra h. Atkarpos, kurios yra prie smailiųjų trapecijos kampų ir kurios nuo pagrindo b atkirstos aukštine h, pažymėkime x ir y; x>y, nes c>d. Randame:

$x={\sqrt {c^{2}-h^{2}}};$

$y={\sqrt {d^{2}-h^{2}}}.$

Randame santykį:

${\frac {c}{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}={\frac {d}{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}};$

$c{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}=d{\sqrt {c^{2}-h^{2}}};$

Randame trapecijos aukštinę:

$h^{2}=c^{2}-x^{2};$

$h^{2}=c^{2}-({\sqrt {c^{2}-h^{2}}})^{2};$

$h^{2}=c^{2}-(c^{2}-h^{2});$

Tuomet trapecijos plotas yra:

$S=a(b-x-y)h+{\frac {1}{2}}hx+{\frac {1}{2}}hy=a(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}})h+{\frac {1}{2}}h{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}+{\frac {1}{2}}h{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}=$

Nuorodos

• http://mkp.emokykla.lt/imo/lt/mo/311/
• http://www-1.ipc.lt/Kupiskio/Subaciaus/Skupaite/html/trapecija.htm