|
|
206 eilutė: |
206 eilutė: |
|
:Vadinasi arba x=0 arba <math>ax^2+bx+c.</math> |
|
:Vadinasi arba x=0 arba <math>ax^2+bx+c.</math> |
|
Išsprendžiame kvadratinę lygtį ir gauname tris realiasias šaknis arba dvi, arba vieną x=0, kai diskriminantas neigiamas. |
|
Išsprendžiame kvadratinę lygtį ir gauname tris realiasias šaknis arba dvi, arba vieną x=0, kai diskriminantas neigiamas. |
|
|
|
|
==Pilnosios kubinės lygties šaknų radimas== |
|
|
Pilnosios kūbinės lygties <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> šaknys yra šios: |
|
|
|
|
|
:<math>\begin{align} |
|
|
x_1 = |
|
|
&-\frac{b}{3 a}\\ |
|
|
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\ |
|
|
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\ |
|
|
x_2 = |
|
|
&-\frac{b}{3 a}\\ |
|
|
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\ |
|
|
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\ |
|
|
x_3 = |
|
|
&-\frac{b}{3 a}\\ |
|
|
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]}\\ |
|
|
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\tfrac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right]} |
|
|
\end{align}</math> |
|
|
|
|
|
:Realiosios šaknys yra blogos, jei po šia šaknimi <math>\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}</math> gaunamas skaičius su minusu. |
|
|
|
|
|
|
|
|
*'''Pavyzdis'''. Rasime nepilnos kubinės lygties <math>x^3-6x+9=0</math> realiasias šaknis, kurios <math>a=1</math>, <math>b=0</math>, <math>c=-6</math> ir <math>d=9</math>. Randame sprendinį: |
|
|
:<math>x_1=-\frac{b}{3 a}-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right)}-</math> |
|
|
:<math>-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{0}{3 }-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot 0^3-0+27 \cdot 9+\sqrt{\left(2 \cdot 0^3-0+27 \cdot 9\right)^2-4 \left(0^2-3 \cdot (-6)\right)^3}\right)}-</math> |
|
|
:<math>-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot 0^3-0+27 \cdot 9-\sqrt{\left(2\cdot 0^3-0+27 \cdot 9\right)^2-4 (0^2-3 \cdot (-6))^3}\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243+\sqrt{243^2-4 \cdot 18^3}\right)}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243-\sqrt{243^2-4 \cdot 18^3}\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243+\sqrt{59049-23328}\right)}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243-\sqrt{59049-23328}\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243+\sqrt{35721}\right)}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243-\sqrt{35721}\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243+189\right)}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(243-189\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{216}-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{54}=-\frac{1}{3 }\cdot 6-\frac{1}{3 }\cdot 3\sqrt[3]{2}=-2-\sqrt[3]{2}=-3.25992105.</math> |
|
|
:Patikriname ar sprendinys teisingas: |
|
|
<math>x_1^3-6 x_1+9=(-3.25992105)^3-6 (-3.25992105)+9=-34.64345891+19.5595263+9=-6.083932611.</math> |
|
|
|
|
|
|
|
|
*'''Pavyzdis'''. Rasime pilnosios kubinės lygties <math>x^3+3x^2-3x-14=0</math> realiasias šaknis, kurios <math>a=1</math>, <math>b=3</math>, <math>c=-3</math> ir <math>d=-14</math>. Randame sprendinį: |
|
|
:<math>x_2=-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 \cdot 3^3-9 \cdot 3\cdot (-3)+27\cdot 1^2 \cdot(-14)-\sqrt{\left(2 \cdot 3^3-9 \cdot 3 \cdot(-3)+27 \cdot 1^2 \cdot (-14)\right)^2-4 \left(3^2-3 \cdot (-3)\right)^3}\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(2 \cdot 9-9 \cdot (-9)+27\cdot (-14)-\sqrt{\left(2 \cdot 27-9 \cdot (-9)+27 \cdot (-14)\right)^2-4 \left(9+9\right)^3}\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(18+81-378-\sqrt{(54+81-378)^2-4\cdot 18^3}\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(99-378-\sqrt{(135-378)^2-4\cdot 5832}\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(-279-\sqrt{(-243)^2-23328}\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(-279-\sqrt{59049-23328}\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(-279-\sqrt{35721}\right)}=</math> |
|
|
:<math>=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot \left(-279-189\right)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot (-468)}=-\frac{1}{3 } \sqrt[3]{-234}=\frac{6.162240148}{3 } =2.054080049.</math> |
|
|
|
|
|
:<math>\left(\frac{\sqrt[3]{-234}}{3 }\right)^3+3\left(\frac{\sqrt[3]{-234}}{3 }\right)^2-3\left(\frac{\sqrt[3]{-234}}{3 }\right)-14=1.162161065.</math> |
|
|
|
|
|
|
==Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu== |
|
==Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu== |
Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.
Naudosime tokį žymėjimą: x, x1, x2 ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.
Pagrindinė algebros teorema
-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).
Tiesinė lygtis
Bendra forma:
Sprendinys:
Nepilnoji kvadratinė lygtis
Bendra forma:
Sprendimas:
Pilnoji kvadratinė lygtis
Bendra forma:
Sprendimas:
randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:
Tada jei , tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:
- Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.
- Patikriname:
Kvadratinė lygtis, kurios
Bendra forma:
Sprendimas:
iškeliame x prieš skliaustus:
Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad
Kvadratinė lygtis, kurios
Duota kvadratinė lygtis:
kurią perrašome taip:
- Čia
- Todėl:
Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks
Duota kvadratinė lygtis:
kurią perrašome taip:
- Čia
- Todėl:
Bikvadratinė lygtis
Bendra forma:
Sprendimas:
pažymime , tada .
,
o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra ir .
Grįžtame prie pažymėjimo:
,
o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius .
Vijeto teorema
Jei yra lygtis
- Tai
- ir taip toliau, kur
Kadratinė lygtis
Jei yra lygtis
- tai lygties sprendiniai:
Kūbinė lygtis lygtis
Jei yra lygtis
- tai lygties sprendiniai:
Ketvirto laispnio lygtis
Jei yra lygtis
- tai lygties sprendiniai:
Pilnoji kubinė lygtis
Bendra forma:
Sprendimas:
Lygtį padalijame iš a ir keitiniu ,
pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą
.
Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:
Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:
1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.
2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.
3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.
Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis
Kai D > 0, ši šaknis vienintelė
Kai D ≤ 0, tai lygtį padaliję iš reiškinio , gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.
Kubinė lygtis, kurios
Bet kokia kūbinė lygtis, kurios yra išsprendžiama be jokių sunkumu.
- Pavyzdis Turime kūbinę lygtį be skaičiaus d. Tuomet ją sprendžiame taip:
- Vadinasi arba x=0 arba
Išsprendžiame kvadratinę lygtį ir gauname tris realiasias šaknis arba dvi, arba vieną x=0, kai diskriminantas neigiamas.
Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu
Yra kūbinė lygtis:
- Pakeičiame gauname:
- Pažymime ir pakeitę gauname:
- Tegu yra sprendinis lygties (pagal teorema lygtis turi 3 kompleksinias šaknis). Įvedame pagalbinį u ir tikimes, kad polinomas
- padės surasti [jei lygtis bus teisingai išspresta].
- Polinomo koeficientai - kompleksiniai skaičiai, ir todėl jis turi dvi kompleksines šaknis ir , be to, pagal Vijeto formulę,
- Įstatę į lygtį gauname:
- Iš lygties turime, kad:
- Todėl gauname:
- Dabar turime nauja gabaliuką iš Vijeto teoremos, tai yra lygtis Mes žinome, kad koeficientas q priklauso lygčiai . Todėl taip pat turime padaryti ir su kitu gabaliuku, kad sudėtos ir sudaugintos dalys duotų koeficientus (b ir c Vijeto teoremoje žymimi kvadratinėje lygtyje), taigi pakeliame kubu lygtyje narius , ir kitą pusę. Ir gauname:
- Šios dalys yra g ir s koeficientai kvadratinės lygties kuri turi sprendinius ir (iš Vijeto teoremos). Taigi, užtenka paaiškinimų, o dabar įstatome koeficientus į kvadratinę lygtį ir gauname:
- Randame diskriminantą:
- Randame sprendinius:
- Toliau ir įsistatome į lygtį kad surasti lygties sprendinį (šaknį) . Taigi, gauname:
- Kalbant apie kompleksinius sprendinius, negalima imti tokių sprendinių, kurie netenkina salygos
- Na, o visi sprendiniai yra šie:
- Jei sudėti ant apskritimo, kurio spindulys r=1, taškus ir , tai laipsnių, o laipsnių. Na o , todėl laipsnių (arba 0 laipsnių).
- Pavyzdis. Išspresti lygtį
- Keitinys (čia a yra koeficientas esantis prie ) suprastina šitą lygtį į tokią lygtį:
- Čia , , todėl
- t. y. lygtis turi vieną tikrąjį ir du kompleksinius sprendinius.
- Pagal formulę:
- Todėl t. y. . Du kitus sprendinius rasime pagal formules:
- Iš čia gauname, kad sprendiniai užduotos lygties yra skaičiai:
- Patikriname, kai , tai:
- Patikriname, kai , tai:
- Pavyzdis. Išspręsti lygtį
- Čia , , todėl
- Iš čia seka: t. y. Todėl
- Patikriname įstatę ir gauname:
- Patikriname įstatę ir gauname:
- Pavyzdis. Išspręsti lygtį
- Čia , , todėl
- Tokiu atveju, jeigu pasilikti srityje realiųjų skaičių, Kardano formulė šiai lygybei netinka, nors šios lygybė sprendiniai ir yra 2, 3 ir .
Kubinė lygtis
Kanoninė forma:
- Padaliname iš a ir įvedame vietoje x naują kintamjį
- kur ir
- Kardano sprendiniai
kur
- o ir yra sprendiniai lygties t. y.
- Tuo atveju, kai tris tikrieji sprendiniai išreiškiami kompleksiniais dydžiais, ir protinga naudotis lentelės skaičiavimo budu.
- Pavyzdis. Čia p=2, q=1;
- Tikrasis sprendinis yra
- Kompleksiniai sprendiniai:
- Patikriname:
- Pavyzdis. Čia p=1/3, q=1/2;
- Tikrasis sprendinis yra
- Patikriname:
- Pavyzdis. Čia p=7/3=2.3(3), q=18/2=9;
- Tikrasis sprendinis yra
- Patikriname:
Kūbinės lygties sprendiniai
Jei duota lygtis
- tai jos 3 sprendiniai yra šie:
- Pavyzdis. Rasime lygties realųjį sprendinį. Gauname:
- Patikriname:
- Galbūt nebuvo gautas 0, nes šis skaičius neturėtų būti neigiamas.
- Pavyzdis. Rasime lygties realųjį sprendinį. Gauname:
- Patikriname:
- Pavyzdis. Rasime lygties realųjį sprendinį. Gauname:
- Patikriname:
Nuorodos