Matematika/Vektorius: Skirtumas tarp puslapio versijų

Iš Wikibooks.
Matasg (aptarimas | indėlis)
Nėra keitimo santraukos
Matasg (aptarimas | indėlis)
(Jokio skirtumo)

12:45, 4 spalio 2010 versija

Vektorius – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip -- vektoriumi:

.
kur v yra d skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija -- kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v.

Vektoriaus daugyba iš skaliaro

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:

.

Dviejų vektorių suma

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius: . Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra komutatyvi, t. y., v+w=w+v.

Skaliarinė vektorių sandauga

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, yra vektoriai a(3; 5; 6) ir b(4; 0; 1), tai jų skaliarinė sandauga bus lygi:

Vektoriaus ilgis

Išnagrinėkime atvejį, kai atliekama vektoriaus skaliarinė sandauga su juo pačiu. Plokštumos (2-matės erdvės) bei įprastos koordinačių sistemos atveju turėsime:

.

Prisiminus Pitagoro teoremą, teigiančią, jog stataus trikampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trikampio kraštinių ilgių kvadratų sumai, tampa natūralus toks vektoriaus ilgio apibūdinimas:

.
Atkreipkite dėmesį, jog jei nors vienas iš vektoriaus narių bus didesnis nei kiti, tai jo pakėlimas kvadratu lems viso vektoriaus ilgį.

Pavyzdžiui, vektoriaus a(3; -2; 4) ilgis (tai yra ilgis nuo taško (0; 0; 0) iki taško (3; -2; 4)):

Pavyzdžiui, žinomos vektoriaus pradžios A(3; 2; -4) ir galo B(6; -5; -2) koordinatės. Tada vektoriaus ilgis bus

Jeigu vektoriaus pradžios koordinatės A(0; 0; 0), o galo koordinatės B(6; -5; -2), tai vektoriaus AB ilgis bus:


Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

||cv||=c ||v||.
  • Pavyzdžiui, vektorius a(3; -2; 4) ir skaliaras c=5. Tada ca=(15; -10; 20).

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

||v+w||<=||v||+||w||.
  • Pavyzdžiui, yra vektoriai v=(3; -2; 4) ir w=(1; 5; 8). z=v+w=(3+1; -2+5; 4+8)=(4; 3; 12).
||v||+||w||=5.385164807+9.486832981=14.87199779.

Atstumas tarp vektorių

Atstumas tarp vieno vektoriaus galo ir kito vektoriaus galo (atstumas tarp dviejų taškų n-matėje koordinačių sistemoje) matuojamas pagal formulę:

Pavyzdžiai

  • Turime vektorius v=[3, 6], w=[7, 4]. Atstumas tarp jų galų:


  • Rasime trikampio, esančio trimatėje erdvėje, plotą. Trikampio viršunių koordinates (x; y; z) yra tokios: A(8; 3; -3); B(3; 2; -1); C(4; 0; -3). Dabar reikia surasti tiesių ilgius AB, AC ir BC:

Taikydami Herono formule apskaičiuojame trikampio pusperimetrį p:

Ir trikampio plotą S:

  • Rasime trikampio plotą, kurio višunės yra taškuose A(1; 3; -2), B(2; -1; 3), C(0; 2; 4).

Šio trikampio plotą galima apskaičiuoti naudojantis vektorine sandauga. AB=(2-1; -1-3; 3+2)=(1; -4; 5), AC=(0-1; 2-3; 4+2)=(-1; -1; 6).

Kampas tarp vektorių

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

.

Remiantis šia formule tampa akivaizdu kodėl yra sakoma, jog skaliarinė vektorių sandauga parodo vektorių atitikimą (panašumą) vienas kitam.

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4).
arba 109,4712206 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas surastas teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

Iš kosinusų teoremos žinome, kad ;

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0).
arba 63,43494882 laipsnių.

Vektorinė vektorių sandauga

Vektorinės sandaugos a × b (vektoriaus) ilgis gali būti interpretuojamas kaip plotas lygiagretainio, sudaryto iš kraštinių a ir b.

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

Trikampio plotas yra

Taikydami kosinusų toeremą ir Herono formulę patikrinsime ar trikampio plotas surastas teisingai.

Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį


Dedamųjų daugyba:


Rasime jei a=2i-3j+5k=(2; -3; 5), b=4i+2j-6k=(4; 2; -6).


Apskaičiuosime trikampio su viršūnėmis taškuose A(-1; 0; 2), B(1; -2; 5), C(3; 0; -4) plotą. a=AB=(1-(-1); -2-0; 5-2)=(2; -2; 3); b=AC=(3-(-1); 0-0; -4-2)=(4; 0; -6);


Trikampio ABC viršunės yra taškai A(1; -1; 2), B(5; -6; 2) ir C(1; 3; -1). Apskaičiuosime šio trikampio plotą ir aukštinės h, nuleistos iš viršunės B į kraštinę AC, ilgį. Žinome, kad Randame vektorių AB ir AC koordinates bei vektorinę sandaugą: AB=(4; 5; 0), AC=(0; 4; -3),

Apskaičiuojame lygiagretainio plotą: Tada trikampio ABC plotas bus lygus Norėdami rasti trikampio aukšinę h, pritaikykime kitą trikampio ploto formulę: Sulyginę formules, gauname: Iš čia trikampio ABC aukšinė kadangi

Mišri vektorių sandauga

Grafinis mišrios vektorių sandaugos pavaizdavimas

Mišri vektorių sandauga (a b c) yra apibrėžiama:

Mišriają sandaugą taip pat galima užrašyti taip:
,

čia V yra lygiagretainio gretasienio tūris. Bet ši lygybė teisinga tik tuo atveju, jei vektorius c yra statmenas lygiagretainio paviršiui, kuri sudaro vektoriai a ir b.

  • Duoti vektoriai a=(1; 2; 0), b=(1; -2; 0), c=(0; 0; 3), kurių pradžios koordinatės yra (0; 0; 0). Rasime lygiagretainio gretasienio tūrį:

Gretasienio tūris yra |-12|=12. Taip pat galima skaičiuot taip:

Patikriname ar atsakymas bus toks pat naudojant vektorine sandauga (vektorių a ir b) sudauginta su statmeno vektoriaus c ilgiu:

Patikriname taikydami Herono formulę.

Atstumas tarp taškų a=(1; 2; 0) ir b=(1; -2; 0) yra lygus:

  • Rasime piramidės su 4 viršunėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:

Piramidės tūris yra todėl, kad piramidės pagrindo plotas yra puse (S=ab/2) lygiagretainio ploto, o kadangi gretasienio tūris yra V=abh=Sh ir piramidės (kurios pagrindas trikampis) tūris yra V=(ab/2)*h/3=abh/6=Sh/3, tai dėl to piramidės tūris yra V=abh/6 arba 1/6 gretasienio tūrio. Piramidės, kurios pagrindas yra keturkampis, tūris yra

  • Duoti vektoriai a=(3; 4; 5), b=(4; 3; 5), c=(-3; -4; 5). Vektorius c su vektoriu b sudaro 90 laipsnių kampą. Vektorius c su vektorium b sudaro kampą
arba 88.854008 laipsnių. Taigi vektorius c yra beveik status abiems vektorioms, ko ir reikia norint surasti apytikslu lygiagretainio gretasienio tūrį (vektoriu c parinkti taip, kad butu status abiems vektoriams yra begalo sunku). Galime patikrinti, kad vektorius c su vektorium a tikrai sudaro 90 laipsniu kampą:
arba 90 laipsnių.

Rasime lygiagretainio gretasienio tūrį:

Patikriname:

Patikriname taikydami Herono formulę.

Atstumas tarp taškų a=(3; 4; 5) ir b=(4; 3; 5) yra lygus:

  • Apskaičiuosime trikampės piramidės tūrį, kai žinomi jos viršunių taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Reikia surasti tris vektorių ilgius (koordinates) išeinančius iš kurios nors vienos viršunės (tada galėsime manyti, kad ta viršunė yra vektorių pradžios taškas (0; 0; 0)): AB=(5-3; 2-(-1); 6-5)=(2; 3; 1), AC=(-4; 4; -1), AD=(4; 4; -6). Apskaičiuosime mišriąją gautų vektorių sandaugą (lygiagretainio gretasienio tūrį):

Tada trikampės piramidės tūris Gretasienio (nebūtinai stačiakampio gretasienio) tūris gautas iš šių (AB, AC, AD) vektorių lygus V=84. Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę: Bet , todėl Sulyginus šią formulę su pirma formule:

Iš čia Kadangi tai Tada trikampės piramidės aukštinė h lygi


Vektoriai yra kolinearūs jeigu Dvimačiai vektoriai yra kolinearūs, kai yra lygiagretūs. Vektoriai yra komplanarūs jeigu Trimačiai vektoriai yra komplanarūs kai priklauso tai pačiai ploštumai.


Duotos jėgos F projekcijos , , Rasime jėgos dydį |F| ir jos veikimo kryptį. Jėgos dydis yra: . Rasime krypties kosinusus: , , . Iš čia randame kampus , Vadinasi, jėga F veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus kryptimi.


Vektorius a su ašimis Oy ir Oz sudaro kampus Rasime kampą kurį vektorius a sudaro su Ox ašimi. Kadangi tai Iš čia Tada arba


Jėga F veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus kryptimi. Rasime jėgos F projekcijas, jei |F|=6. Jėgos F dedamosios