Matematika/Trilypis integralas: Skirtumas tarp puslapio versijų

Iš Wikibooks.
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Sarama (aptarimas | indėlis)
Nėra keitimo santraukos
Sarama (aptarimas | indėlis)
102 eilutė: 102 eilutė:
'''Pavyzdžiai'''
'''Pavyzdžiai'''


[[Vaizdas:trilmech.PNG|thumb|Paraboloidas.]]
*Kūną riboja paviršiai<math> z=x^2+y^2</math> ir <math>z=4.</math> Apskaičiuokime to kūno masės centro koordinates, kai <math>\gamma=const.</math>
*Kūną riboja paviršiai<math> z=x^2+y^2</math> ir <math>z=4.</math> Apskaičiuokime to kūno masės centro koordinates, kai <math>\gamma=const.</math>
Kadangi kūnas simteriškas plokštumų ''xOy'' ir ''yOz'' atžvilgiu, tai <math>x_c=y_c=0.</math> Rasime <math>z_c</math> koordinatę. Pagal sąlygą, <math>\gamma=const,</math> todėl iš formulių išplaukia, kad
Kadangi kūnas simteriškas plokštumų ''xOy'' ir ''yOz'' atžvilgiu, tai <math>x_c=y_c=0.</math> Rasime <math>z_c</math> koordinatę. Pagal sąlygą, <math>\gamma=const,</math> todėl iš formulių išplaukia, kad

00:40, 27 liepos 2010 versija

Trilypis integralas naudojamas tūriui apskaičiuoti ir mechanikoje – tose vietose, kur dvilypio integralo savybių neužtenka greitesniam apskaičiavimui.

Trilypio integralo apskaičiavimas

Pavyzdžiai

  • Apskaičiuosime tūrį V tetraedro, apriboto plokštumų

Integravimo sritis D projektuojama į plokštumą xOy. Tūrį V iš apačios riboja plokštuma iš viršaus - plokštuma Trilypį integralą pakeičiame kartotiniu:

Šį atsakymą galima buvo gauti naudojantis mišriąja vektorių sandauga.

Gretasienio tūris yra 8. Rasime piramidės (t. y. netaisyklingo tetraedro) su 4 viršūnėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:

Šį tūrį galima buvo gauti nustačius kiekvienos kraštinės ilgį palei koordinačių ašis. M(1-(-1); 1-0; 2-0)=M(2; 1; 2). Sudauginus kraštinių ilgius gauname stačiakampio gretasienio tūrį Arba per vektorius


  • Apskaičiuosime tetraedro tūrį V, apriboto plokštumomis x+y+z=2, z=1, x=0, y=0. tetraedro trys kraštinės a=b=c=1 ir lygiagrečios atitinkamai x, y ir z ašims, o kitos trys kraštinės

Tą patį atsakymą galėjome gauti pasinaudodami piramidės tūrio skaičiavimu per vektorius M(1-0; 1-0; 2-1)=M(1; 1; 1):


  • Pirmajame oktante esantį kūną riboja paviršiai Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kūno tūrį apskaičiuosime pagal formulę

Integravimo sritits D yra kūno projekcija plokštumoje xOy. Parinkus vienokią integravimo tvarką, dvilypis integralas šioje srityje išreiškiamas vienu kartotiniu integralu, o pakeitus tą tvarką dviem kartotiniais integralais: arba Todėl trilypį integralą keisdami kartotiniu, remkimės trumpesne formule:


  • Apskaičiuosime tūrį kūno apriboto šiais paviršiais: ir Iš lygties kai z lygi nuliui Kai parabolės įgija reikšmes ir Todėl tūris lygus

Trilypis integralas cilindrinėje koordinačių sistemoje

Su stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis cilindrines koordinates sieja formulės Kadangi kūno tūris tai cilindrinėje koordinačių sistemoje jis išreiškiamas formule

Pavyzdžiai

  • Kūną V riboja paviršiai z=0. Apskaičiuokime to kūno tūrį.

Kūnas V iš šonų apribotas dviejų cilindrų, kurių sudaromosios lygiagrečios ašiai Oz, o vedamosios - apskritimai ir Iš apačios kūną riboja plokštuma z=0, iš viršaus - kūgis kurio viršūnė yra taške (0; 0; 4) o sudaromosios nukreiptos žemyn. Kadangi kūnas yra simetriškas plokštumos xOy atžvilgiu, tai apskaičiuosime to kūno tūrio. Integravimo sritis D, t. y. kūno prjokecija plokštumoje xOy. Cilindrinėje koordinačių sistemoje apskritimų lygtys yra ir o kūgio lygtis yra Figūra D gaunama, kai kampas kinta nuo 0 iki o dydis - nuo iki Todėl, pritaikę formulę, gauname Kur du šauktukai dvigubas faktorialas.


  • Kūną V riboja viršutinė sferos dalis ir paraboloidas Apskaičiuokime kūno tūrį.

Kadangi kūnas yra simteriškas plokštumų xOz ir yOz atžvilgiu, tai apskaičiuosime jo tūrio. Norėdami rasti sritį D, turime suprojektuoti į plokštumą xOy sferos paraboloido susikirtimo kreivę, kurios lygtį gausime išsprendę jų lygčių sistemą. Į lygtį vietoje z įrašome reiškinį Gauname lygtį

Iš čia Šiuo atveju r yra susikirtimo parabaloido ir pusapskritimo koordinate z, o kadangi parabolės projekcija į plokštumą xOz yra nusakoma formule tai, kai (arba ), tada kaip parodyta paveiksliuke.

Taigi viso kūno tūris

Integralas integruojamas taip:

nes todėl


  • Apskaičiuosime tūrį kūno V, apriboto paviršiais z=1, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=1. Pažymėsime per T erdvės sritį apribota paviršiais Todėl

  • Apskaičiuosime tūrį kūno V, apriboto paviršiais z=100, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=100. Pažymėsime per T erdvės sritį apribota paviršiais Maksimalus spindulys . Todėl

Trilypio integralo taikymas mechanikoje

Kūno masės centro koordinatės

Kai tam tikros masės tankis lygus tai to kūno masės centro koordinatės apskaičiuojamos pagal formules

Pavyzdžiai

  • Kūną riboja paviršiai ir Apskaičiuokime to kūno masės centro koordinates, kai

Kadangi kūnas simteriškas plokštumų xOy ir yOz atžvilgiu, tai Rasime koordinatę. Pagal sąlygą, todėl iš formulių išplaukia, kad Integralus apskaičiuosime pakeisdami juos kartotiniais cilindrinėje koordinačių sistemoje.

Kūno inercijos momentai

Taško M(x; y; z), kurio masė m, inercijos momentai koordinačių plokštumų xOy, xOz ir yOz atžvilgiu išreiškiami formulėmis

ašių Ox, Oy, Oz atžvilgiu - formulėmis
koordinačių pradžios atžvilgiu - formule
Kūno inercijos momentai išreiškiami atitinkamais trilypiais integralais. Pavyzdžiui, tam tikros masės kūno, kurio tankis inercijos momentas plokštumos xOy atžvilgiu apskaičiuojamas pagal formulę

ašies Oz atžvilgiu - pagal formulę ir t. t.

Pavyzdžiai

Vaizdas:Trilmech2.PNG
Paraboloidas paslinktas žemyne nuo viršaus 4-8/3=4/3.
  • Apskaičiuokime kūno, kurį riboja paraboloidas ir plokštuma (žr. auksčiau pateiktą pavyzdį apie paraboloido masės centro skaičiavimą), inercijos momentą ašies, einančios per jo masės centrą statmenai to paraboloido sukimosi ašiai, atžvilgiu ().
Koordinačių ašis parinkime taip, kad jų pradžios taškas sutaptų su paraboloido masės centru, o ašis Ox būtų statmena paraboloido sukimosi ašiai. Tuomet turėsime rasti (arba ).

Paraboloido lygtis tokioje koordinačių sistemoje yra o jo projekcija plokštumoje xOy - sritis, apribota apskritimo Taikome formulę Tuomet

Vaizdas:Trilcil3.PNG
Paraboloidas.
  • Apskaičiuosime kūno sritį V, kuri apribota paviršiais ir inercijos momentą Oz ašies atžvilgiu Taip kaip V į plokštumą xOy projektuojasi į skritulį tai koordinatė kinta ribose 0 ir , koordinatė - nuo iki . Nuolatinei reikšmei erdvėje Oxyz atitinka cilindras Apžiurinėdami susikirtimą šito cilindro su sritimi V, gauname kitimą koordinčių z nuo reikšmės taškams gulinčių ant paraboloido iki reikšmių taškams, gulinčių ant plokštumos , t. y. nuo iki Pritaikę formulę turime

Trilypis integralas sferinėse koordinatėse

Pavyzdžiai

  • Apskaičiuosime rutulio tūrį V:

  • Apskaičiuosime rutulio inercijos momentą koordinačių pradžios atžvilgiu. Kadangi gauname

  • Nustatysime masės centro koordinates viršutinės pusės vienalyčio rutulio V spindulio R esančio centre koordinačių pradžios.

Duotas pusrutulis apribotas paviršiais ir Dėl pusrutulio simetrijos Koordinatė nustatoma pagal formulę

Pereidami į sferines koordinates, gauname

Vaizdas:Trilsfer.PNG
Pusrutulis.
  • Apskaičiuosime masę pusrutulio V spindulio R, jeigu masės pasiskirstimas tankis kiekviename jo taške proporcingas atstumui taško nuo tam tikro fiksuoto taško O ant krašto pusrutulio pagrindo.
Išrinksime koordinačių pradžią taške O, o plokštumą xOy pusrutulio taip, kad pusrutulio centras gulėtų ant ašies Oy.
Tada lygtys paviršiaus, apribojančio kūną V iš viršaus, užsirašis pavidale:

masės pasiskirstimo tankis nustatomas formule

masės nustatymas reiškia apskaičiavimą integralo Integruodami pasianaudojome dvigubu faktorialu trigonometrijoje:

kai n lyginis;
kai n nelyginis.