Trilypis integralas naudojamas tūriui apskaičiuoti ir mechanikoje – tose vietose, kur dvilypio integralo savybių neužtenka greitesniam apskaičiavimui.
Trilypio integralo apskaičiavimas
∬
V
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∫
a
b
d
x
∫
y
1
(
x
)
y
2
(
x
)
d
y
∫
z
1
(
x
,
y
)
z
2
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
,
z
)
d
z
.
{\displaystyle \iint _{V}f(x,y,z)dxdydz=\int _{a}^{b}dx\int _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}dy\int _{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz.}
Pavyzdžiai
Apskaičiuosime tūrį V tetraedro , apriboto plokštumų
x
=
0
,
{\displaystyle x=0,}
y
=
0
,
{\displaystyle y=0,}
z
=
0
,
{\displaystyle z=0,}
x
+
y
+
z
=
2.
{\displaystyle x+y+z=2.}
Integravimo sritis D projektuojama į plokštumą xOy . Tūrį V iš apačios riboja plokštuma
z
=
0
,
{\displaystyle z=0,}
iš viršaus - plokštuma
z
=
2
−
x
−
y
.
{\displaystyle z=2-x-y.}
Trilypį integralą pakeičiame kartotiniu:
V
=
∭
V
d
x
d
y
d
z
=
∫
0
2
d
x
∫
0
2
−
x
d
y
∫
0
2
−
x
−
y
d
z
=
∫
0
2
d
x
∫
0
2
−
x
z
|
0
2
−
x
−
y
d
y
=
{\displaystyle V=\iiint _{V}dxdydz=\int _{0}^{2}dx\int _{0}^{2-x}dy\int _{0}^{2-x-y}dz=\int _{0}^{2}dx\int _{0}^{2-x}z|_{0}^{2-x-y}dy=}
=
∫
0
2
d
x
∫
0
2
−
x
(
2
−
x
−
y
)
d
y
=
∫
0
2
(
2
y
−
x
y
−
y
2
2
)
|
0
2
−
x
d
x
=
∫
0
2
(
4
−
2
x
−
2
x
+
x
2
−
1
2
(
4
−
4
x
+
x
2
)
)
d
x
=
{\displaystyle =\int _{0}^{2}dx\int _{0}^{2-x}(2-x-y)dy=\int _{0}^{2}(2y-xy-{y^{2} \over 2})|_{0}^{2-x}dx=\int _{0}^{2}(4-2x-2x+x^{2}-{1 \over 2}(4-4x+x^{2}))dx=}
=
∫
0
2
(
2
−
2
x
+
x
2
2
)
d
x
=
(
2
x
−
x
2
+
x
3
6
)
|
0
2
=
4
−
4
+
8
6
=
8
6
.
{\displaystyle =\int _{0}^{2}(2-2x+{x^{2} \over 2})dx=(2x-x^{2}+{x^{3} \over 6})|_{0}^{2}=4-4+{8 \over 6}={8 \over 6}.}
Šį atsakymą galima buvo gauti naudojantis mišriąja vektorių sandauga.
V
=
(
a
×
b
)
⋅
c
=
|
a
x
a
y
a
z
b
z
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
|
=
|
2
0
0
0
2
0
0
0
2
|
=
8.
{\displaystyle V=(a\times b)\cdot c={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{vmatrix}}=8.}
Gretasienio tūris yra 8. Rasime piramidės (t. y. netaisyklingo tetraedro) su 4 viršūnėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:
V
=
1
6
|
(
a
×
b
)
⋅
c
|
=
8
6
.
{\displaystyle V={\frac {1}{6}}|(a\times b)\cdot c|={\frac {8}{6}}.}
∭
V
d
x
d
y
d
z
=
∫
−
1
1
d
x
∫
0
1
d
y
∫
0
2
d
z
=
∫
−
1
1
d
x
∫
0
1
2
d
y
=
∫
−
1
1
2
d
x
=
2
x
|
−
1
1
=
2
(
1
−
(
−
1
)
)
=
4.
{\displaystyle \iiint _{V}dxdydz=\int _{-1}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{2}dz=\int _{-1}^{1}dx\int _{0}^{1}2dy=\int _{-1}^{1}2dx=2x|_{-1}^{1}=2(1-(-1))=4.}
Šį tūrį galima buvo gauti nustačius kiekvienos kraštinės ilgį palei koordinačių ašis. M (1-(-1); 1-0; 2-0)=M (2; 1; 2). Sudauginus kraštinių ilgius gauname stačiakampio gretasienio tūrį
V
=
2
⋅
1
⋅
2
=
4.
{\displaystyle V=2\cdot 1\cdot 2=4.}
Arba per vektorius
V
=
(
a
×
b
)
⋅
c
=
|
2
0
0
0
1
0
0
0
2
|
=
4.
{\displaystyle V=(a\times b)\cdot c={\begin{vmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{vmatrix}}=4.}
Apskaičiuosime tetraedro tūrį V , apriboto plokštumomis x+y+z=2, z=1, x=0, y=0. tetraedro trys kraštinės a=b=c=1 ir lygiagrečios atitinkamai x , y ir z ašims, o kitos trys kraštinės
d
=
e
=
f
=
1
2
+
1
2
=
2
.
{\displaystyle d=e=f={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}.}
V
=
∭
V
d
x
d
y
d
z
=
∬
D
d
x
d
y
∫
1
2
−
x
−
y
d
z
=
∫
0
1
d
x
∫
0
1
−
x
d
y
∫
1
2
−
x
−
y
d
z
=
{\displaystyle V=\iiint _{V}dxdydz=\iint _{D}dxdy\int _{1}^{2-x-y}dz=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1-x}dy\int _{1}^{2-x-y}dz=}
=
∫
0
1
d
x
∫
0
1
−
x
(
1
−
x
−
y
)
d
y
=
∫
0
1
(
y
−
x
y
−
y
2
2
)
|
0
1
−
x
d
x
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1-x}(1-x-y)dy=\int _{0}^{1}(y-xy-{y^{2} \over 2})|_{0}^{1-x}dx=}
=
∫
0
1
(
1
−
x
−
x
+
x
2
−
1
−
2
x
+
x
2
2
)
d
x
=
∫
0
1
(
1
2
−
x
+
x
2
2
)
d
x
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}(1-x-x+x^{2}-{1-2x+x^{2} \over 2})dx=\int _{0}^{1}({1 \over 2}-x+{x^{2} \over 2})dx=}
=
(
1
2
x
−
x
2
2
+
x
3
6
)
|
0
1
=
1
2
−
1
2
+
1
6
=
1
6
.
{\displaystyle =({1 \over 2}x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 6})|_{0}^{1}={1 \over 2}-{1 \over 2}+{1 \over 6}={1 \over 6}.}
Tą patį atsakymą galėjome gauti pasinaudodami piramidės tūrio skaičiavimu per vektorius M (1-0; 1-0; 2-1)=M (1; 1; 1):
V
=
1
6
|
(
a
×
b
)
⋅
c
|
=
1
6
|
1
0
0
0
1
0
0
0
1
|
=
1
6
.
{\displaystyle V={1 \over 6}|(a\times b)\cdot c|={1 \over 6}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}={1 \over 6}.}
Pirmajame oktante esantį kūną riboja paviršiai
z
=
4
−
y
2
,
{\displaystyle z=4-y^{2},}
x
+
y
=
2
,
{\displaystyle x+y=2,}
2
x
+
y
=
2
,
{\displaystyle 2x+y=2,}
y
=
0
,
{\displaystyle y=0,}
z
=
0.
{\displaystyle z=0.}
Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kūno tūrį apskaičiuosime pagal formulę
V
=
∭
V
d
x
d
y
d
z
=
∬
D
d
x
d
y
∫
0
4
−
y
2
.
{\displaystyle V=\iiint _{V}dxdydz=\iint _{D}dxdy\int _{0}^{4-y^{2}}.}
Integravimo sritits D yra kūno projekcija plokštumoje xOy . Parinkus vienokią integravimo tvarką, dvilypis integralas šioje srityje išreiškiamas vienu kartotiniu integralu, o pakeitus tą tvarką dviem kartotiniais integralais:
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
0
2
d
y
∫
2
−
y
2
2
−
y
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)dxdy=\int _{0}^{2}dy\int _{2-y \over 2}^{2-y}f(x,y)dx}
arba
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
0
1
d
x
∫
2
−
2
x
2
−
x
f
(
x
,
y
)
d
y
+
∫
1
2
d
x
∫
0
2
−
x
f
(
x
,
y
)
d
y
.
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)dxdy=\int _{0}^{1}dx\int _{2-2x}^{2-x}f(x,y)dy+\int _{1}^{2}dx\int _{0}^{2-x}f(x,y)dy.}
Todėl trilypį integralą keisdami kartotiniu, remkimės trumpesne formule:
V
=
∫
0
2
d
y
∫
2
−
y
2
2
−
y
d
x
∫
0
4
−
y
2
d
z
=
∫
0
2
d
y
∫
2
−
y
2
2
−
y
z
|
0
4
−
y
2
d
x
=
∫
0
2
d
y
∫
2
−
y
2
2
−
y
(
4
−
y
2
)
d
x
=
{\displaystyle V=\int _{0}^{2}dy\int _{2-y \over 2}^{2-y}dx\int _{0}^{4-y^{2}}dz=\int _{0}^{2}dy\int _{2-y \over 2}^{2-y}z|_{0}^{4-y^{2}}dx=\int _{0}^{2}dy\int _{2-y \over 2}^{2-y}(4-y^{2})dx=}
=
∫
0
2
(
4
−
y
2
)
x
|
2
−
y
2
2
−
y
d
y
=
∫
0
2
(
4
−
2
y
−
y
2
+
y
3
2
)
d
y
=
(
4
y
−
y
2
−
y
3
3
+
y
4
8
)
|
0
2
=
10
3
.
{\displaystyle =\int _{0}^{2}(4-y^{2})x|_{2-y \over 2}^{2-y}dy=\int _{0}^{2}(4-2y-y^{2}+{y^{3} \over 2})dy=(4y-y^{2}-{y^{3} \over 3}+{y^{4} \over 8})|_{0}^{2}={10 \over 3}.}
Apskaičiuosime tūrį kūno apriboto šiais paviršiais:
y
=
x
,
y
=
2
x
,
{\displaystyle y={\sqrt {x}},\;y=2{\sqrt {x}},}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
ir
x
+
z
=
6.
{\displaystyle x+z=6.}
Iš lygties
x
+
z
=
6
,
{\displaystyle x+z=6,}
kai z lygi nuliui
x
=
6.
{\displaystyle x=6.}
Kai
x
=
6
{\displaystyle x=6}
parabolės įgija reikšmes
y
=
6
{\displaystyle y={\sqrt {6}}}
ir
y
=
2
6
.
{\displaystyle y=2{\sqrt {6}}.}
Todėl tūris lygus
V
=
∫
0
6
d
x
∫
x
2
x
d
y
∫
0
6
−
x
d
z
=
∫
0
6
d
x
∫
x
2
x
(
6
−
x
)
d
y
=
{\displaystyle V=\int _{0}^{6}dx\int _{\sqrt {x}}^{2{\sqrt {x}}}dy\int _{0}^{6-x}dz=\int _{0}^{6}dx\int _{\sqrt {x}}^{2{\sqrt {x}}}(6-x)dy=}
=
∫
0
6
(
6
−
x
)
x
d
x
=
(
6
⋅
x
3
2
3
2
−
2
5
⋅
x
5
2
)
|
0
6
=
4
⋅
6
6
−
2
5
⋅
6
2
6
=
24
6
−
72
5
6
=
48
6
5
.
{\displaystyle =\int _{0}^{6}(6-x){\sqrt {x}}dx=(6\cdot {x^{3 \over 2} \over {3 \over 2}}-{2 \over 5}\cdot x^{5 \over 2})|_{0}^{6}=4\cdot 6{\sqrt {6}}-{2 \over 5}\cdot 6^{2}{\sqrt {6}}=24{\sqrt {6}}-{72 \over 5}{\sqrt {6}}={48{\sqrt {6}} \over 5}.}
Trilypis integralas cilindrinėje koordinačių sistemoje
Su stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis cilindrines koordinates sieja formulės
x
=
ρ
cos
ϕ
,
y
=
ρ
sin
ϕ
,
z
=
z
.
{\displaystyle x=\rho \cos \phi ,\;y=\rho \sin \phi ,\;z=z.}
∭
V
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
V
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
ρ
d
ρ
d
ϕ
d
z
.
{\displaystyle \iiint _{V}f(x,y,z)dxdydz=\iiint _{V}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho d\rho d\phi dz.}
Kadangi kūno tūris
V
=
∭
V
d
x
d
y
d
z
,
{\displaystyle V=\iiint _{V}dxdydz,}
tai cilindrinėje koordinačių sistemoje jis išreiškiamas formule
V
=
∭
V
ρ
d
ρ
d
ϕ
d
z
.
{\displaystyle V=\iiint _{V}\rho d\rho d\phi dz.}
Pavyzdžiai
Kūną V riboja paviršiai
x
2
+
y
2
=
x
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=x,}
x
2
+
y
2
=
2
x
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=2x,}
z
=
4
−
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle z=4-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
z=0. Apskaičiuokime to kūno tūrį.
Kūnas V iš šonų apribotas dviejų cilindrų, kurių sudaromosios lygiagrečios ašiai Oz , o vedamosios - apskritimai
x
2
+
y
2
=
x
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=x}
ir
x
2
+
y
2
=
2
x
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=2x.}
Iš apačios kūną riboja plokštuma z=0, iš viršaus - kūgis
z
=
4
−
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle z=4-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
kurio viršūnė yra taške (0; 0; 4) o sudaromosios nukreiptos žemyn. Kadangi kūnas yra simetriškas plokštumos xOy atžvilgiu, tai apskaičiuosime
1
2
{\displaystyle {1 \over 2}}
to kūno tūrio. Integravimo sritis D , t. y. kūno prjokecija plokštumoje xOy .
Cilindrinėje koordinačių sistemoje apskritimų lygtys yra
ρ
=
cos
ϕ
{\displaystyle \rho =\cos \phi }
ir
ρ
=
2
cos
ϕ
,
{\displaystyle \rho =2\cos \phi ,}
o kūgio lygtis yra
z
=
4
−
ρ
.
{\displaystyle z=4-\rho .}
Figūra D gaunama, kai kampas
ϕ
{\displaystyle \phi }
kinta nuo 0 iki
π
2
,
{\displaystyle {\pi \over 2},}
o dydis
ρ
{\displaystyle \rho }
- nuo
cos
ϕ
{\displaystyle \cos \phi }
iki
2
cos
ϕ
.
{\displaystyle 2\cos \phi .}
Todėl, pritaikę formulę, gauname
V
=
2
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
cos
ϕ
2
cos
ϕ
ρ
d
ρ
∫
0
4
−
ρ
d
z
=
2
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
cos
ϕ
2
cos
ϕ
ρ
z
|
0
4
−
ρ
d
ρ
=
2
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
cos
ϕ
2
cos
ϕ
(
4
ρ
−
ρ
2
)
d
ρ
=
{\displaystyle V=2\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{\cos \phi }^{2\cos \phi }\rho d\rho \int _{0}^{4-\rho }dz=2\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{\cos \phi }^{2\cos \phi }\rho z|_{0}^{4-\rho }d\rho =2\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{\cos \phi }^{2\cos \phi }(4\rho -\rho ^{2})d\rho =}
=
2
∫
0
π
2
(
2
ρ
2
−
ρ
3
3
)
|
cos
ϕ
2
cos
ϕ
d
ϕ
=
2
∫
0
π
2
(
6
cos
2
ϕ
−
7
3
cos
3
ϕ
)
d
ϕ
=
12
⋅
1
2
⋅
π
2
−
14
3
⋅
2
!
!
3
!
!
=
3
π
−
28
9
.
{\displaystyle =2\int _{0}^{\pi \over 2}(2\rho ^{2}-{\rho ^{3} \over 3})|_{\cos \phi }^{2\cos \phi }d\phi =2\int _{0}^{\pi \over 2}(6\cos ^{2}\phi -{7 \over 3}\cos ^{3}\phi )d\phi =12\cdot {1 \over 2}\cdot {\pi \over 2}-{14 \over 3}\cdot {2!! \over 3!!}=3\pi -{28 \over 9}.}
Kur du šauktukai dvigubas faktorialas .
Kūną V riboja viršutinė sferos
z
=
6
−
x
2
−
y
2
{\displaystyle z={\sqrt {6-x^{2}-y^{2}}}}
dalis ir paraboloidas
z
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle z=x^{2}+y^{2}.}
Apskaičiuokime kūno tūrį.
Kadangi kūnas yra simteriškas plokštumų xOz ir yOz atžvilgiu, tai apskaičiuosime
1
4
{\displaystyle {1 \over 4}}
jo tūrio. Norėdami rasti sritį D , turime suprojektuoti į plokštumą xOy sferos paraboloido susikirtimo kreivę, kurios lygtį gausime išsprendę jų lygčių sistemą. Į lygtį
z
=
6
−
x
2
−
y
2
{\displaystyle z={\sqrt {6-x^{2}-y^{2}}}}
vietoje z įrašome reiškinį
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}.}
Gauname lygtį
x
2
+
y
2
=
6
−
x
2
−
y
2
;
{\displaystyle x^{2}+y^{2}={\sqrt {6-x^{2}-y^{2}}};}
r
=
6
−
r
;
{\displaystyle r={\sqrt {6-r}};}
r
2
+
r
−
6
=
0.
{\displaystyle r^{2}+r-6=0.}
D
=
b
2
−
4
a
c
=
1
−
4
(
−
6
)
=
25
;
{\displaystyle D=b^{2}-4ac=1-4(-6)=25;}
r
1
;
2
=
−
b
±
D
2
a
=
−
1
±
5
2
=
−
3
;
2.
{\displaystyle r_{1;2}={-b\pm {\sqrt {D}} \over 2a}={-1\pm 5 \over 2}=-3;2.}
Iš čia
r
=
ρ
2
=
x
2
+
y
2
=
2.
{\displaystyle r=\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=2.}
Šiuo atveju r yra susikirtimo parabaloido ir pusapskritimo koordinate z , o kadangi parabolės projekcija į plokštumą xOz yra nusakoma formule
z
=
x
2
,
{\displaystyle z=x^{2},}
tai, kai
z
=
r
=
2
=
x
2
{\displaystyle z=r=2=x^{2}}
(arba
z
=
r
=
2
=
y
2
{\displaystyle z=r=2=y^{2}}
), tada
x
=
r
=
2
,
{\displaystyle x={\sqrt {r}}={\sqrt {2}},}
kaip parodyta paveiksliuke.
Taigi viso kūno tūris
V
=
4
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
0
2
ρ
d
ρ
∫
ρ
2
6
−
ρ
d
z
=
4
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
0
2
(
ρ
6
−
ρ
2
−
ρ
3
)
d
ρ
=
{\displaystyle V=4\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{\sqrt {2}}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{\sqrt {6-\rho }}dz=4\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{\sqrt {2}}(\rho {\sqrt {6-\rho ^{2}}}-\rho ^{3})d\rho =}
=
4
∫
0
π
2
(
−
(
6
−
ρ
2
)
3
3
−
ρ
4
4
)
|
0
2
d
ϕ
=
−
4
∫
0
π
2
[
(
(
6
−
2
)
3
3
+
4
4
)
−
(
(
6
−
0
)
3
3
+
0
4
)
]
d
ϕ
=
{\displaystyle =4\int _{0}^{\pi \over 2}(-{{\sqrt {(6-\rho ^{2})^{3}}} \over 3}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{\sqrt {2}}d\phi =-4\int _{0}^{\pi \over 2}[({{\sqrt {(6-2)^{3}}} \over 3}+{4 \over 4})-({{\sqrt {(6-0)^{3}}} \over 3}+{0 \over 4})]d\phi =}
=
−
4
∫
0
π
2
[
(
64
3
+
1
)
−
216
3
]
d
ϕ
=
−
4
∫
0
π
2
[
(
8
3
+
1
)
−
6
6
3
]
d
ϕ
=
4
3
(
6
6
−
11
)
∫
0
π
2
d
ϕ
=
4
π
6
(
6
6
−
11
)
.
{\displaystyle =-4\int _{0}^{\pi \over 2}[({{\sqrt {64}} \over 3}+1)-{{\sqrt {216}} \over 3}]d\phi =-4\int _{0}^{\pi \over 2}[({8 \over 3}+1)-{6{\sqrt {6}} \over 3}]d\phi ={4 \over 3}(6{\sqrt {6}}-11)\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi ={4\pi \over 6}(6{\sqrt {6}}-11).}
Integralas integruojamas taip:
∫
ρ
6
−
ρ
2
d
ρ
=
∫
ρ
6
−
ρ
2
d
(
6
−
ρ
2
)
−
2
ρ
=
−
1
2
∫
6
−
ρ
2
d
(
6
−
ρ
2
)
=
−
1
2
⋅
(
6
−
ρ
2
)
1
2
+
1
1
2
+
1
+
C
=
{\displaystyle \int \rho {\sqrt {6-\rho ^{2}}}d\rho =\int \rho {\sqrt {6-\rho ^{2}}}{d(6-\rho ^{2}) \over -2\rho }=-{1 \over 2}\int {\sqrt {6-\rho ^{2}}}d(6-\rho ^{2})=-{1 \over 2}\cdot {(6-\rho ^{2})^{{1 \over 2}+1} \over {1 \over 2}+1}+C=}
=
−
1
2
⋅
(
6
−
ρ
2
)
3
2
3
2
+
C
=
−
(
6
−
ρ
2
)
3
3
+
C
,
{\displaystyle =-{1 \over 2}\cdot {(6-\rho ^{2})^{3 \over 2} \over {3 \over 2}}+C=-{{\sqrt {(6-\rho ^{2})^{3}}} \over 3}+C,}
nes
d
(
6
−
ρ
2
)
=
−
2
ρ
d
ρ
,
{\displaystyle d(6-\rho ^{2})=-2\rho d\rho ,}
todėl
d
ρ
=
d
(
6
−
ρ
2
)
−
2
ρ
.
{\displaystyle d\rho ={d(6-\rho ^{2}) \over -2\rho }.}
Apskaičiuosime tūrį kūno V , apriboto paviršiais
x
2
+
y
2
=
z
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z,}
z=1, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=1. Pažymėsime per T erdvės sritį
ρ
ϕ
z
,
{\displaystyle \rho \phi z,}
apribota paviršiais
ρ
2
=
z
,
{\displaystyle \rho ^{2}=z,}
z
=
1
,
{\displaystyle z=1,}
ϕ
=
0
,
{\displaystyle \phi =0,}
ϕ
=
2
π
.
{\displaystyle \phi =2\pi .}
Todėl
V
=
∭
V
d
x
d
y
d
z
=
∭
T
ρ
d
ρ
d
ϕ
d
z
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
1
ρ
d
ρ
∫
ρ
2
1
d
z
=
{\displaystyle V=\iiint _{V}dxdydz=\iiint _{T}\rho d\rho d\phi dz=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{1}dz=}
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
1
ρ
(
1
−
ρ
2
)
d
ρ
=
∫
0
2
π
(
ρ
2
2
−
ρ
4
4
)
|
0
1
d
ϕ
=
∫
0
2
π
1
4
d
ϕ
=
π
2
.
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}\rho (1-\rho ^{2})d\rho =\int _{0}^{2\pi }({\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{1}d\phi =\int _{0}^{2\pi }{1 \over 4}d\phi ={\pi \over 2}.}
Apskaičiuosime tūrį kūno V , apriboto paviršiais
x
2
+
y
2
=
z
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z,}
z=100, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=100. Pažymėsime per T erdvės sritį
ρ
ϕ
z
,
{\displaystyle \rho \phi z,}
apribota paviršiais
ρ
2
=
z
,
{\displaystyle \rho ^{2}=z,}
z
=
100
,
{\displaystyle z=100,}
ϕ
=
0
,
{\displaystyle \phi =0,}
ϕ
=
2
π
.
{\displaystyle \phi =2\pi .}
Maksimalus spindulys
ρ
=
10
{\displaystyle \rho =10}
. Todėl
V
=
∭
V
d
x
d
y
d
z
=
∭
T
ρ
d
ρ
d
ϕ
d
z
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
10
ρ
d
ρ
∫
ρ
2
100
d
z
=
{\displaystyle V=\iiint _{V}dxdydz=\iiint _{T}\rho d\rho d\phi dz=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{10}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{100}dz=}
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
10
ρ
(
100
−
ρ
2
)
d
ρ
=
∫
0
2
π
(
100
ρ
2
2
−
ρ
4
4
)
|
0
10
d
ϕ
=
∫
0
2
π
(
50
⋅
10
2
−
10
4
4
)
d
ϕ
=
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{10}\rho (100-\rho ^{2})d\rho =\int _{0}^{2\pi }({100\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{10}d\phi =\int _{0}^{2\pi }(50\cdot 10^{2}-{10^{4} \over 4})d\phi =}
=
∫
0
2
π
(
5000
−
2500
)
d
ϕ
=
2500
∫
0
2
π
d
ϕ
=
5000
π
.
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }(5000-2500)d\phi =2500\int _{0}^{2\pi }d\phi =5000\pi .}
Trilypio integralo taikymas mechanikoje
Kūno masės centro koordinatės
Kai tam tikros masės tankis lygus
γ
(
x
,
y
,
z
)
,
{\displaystyle \gamma (x,y,z),}
tai to kūno masės centro koordinatės apskaičiuojamos pagal formules
x
c
=
∭
V
x
γ
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
∭
V
γ
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
,
y
c
=
∭
V
y
γ
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
∭
V
γ
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
,
z
c
=
∭
V
z
γ
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
∭
V
γ
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
.
{\displaystyle x_{c}={\iiint _{V}x\gamma (x,y,z)dxdydz \over \iiint _{V}\gamma (x,y,z)dxdydz},\;y_{c}={\iiint _{V}y\gamma (x,y,z)dxdydz \over \iiint _{V}\gamma (x,y,z)dxdydz},\;z_{c}={\iiint _{V}z\gamma (x,y,z)dxdydz \over \iiint _{V}\gamma (x,y,z)dxdydz}.}
Pavyzdžiai
Kūną riboja paviršiai
z
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle z=x^{2}+y^{2}}
ir
z
=
4.
{\displaystyle z=4.}
Apskaičiuokime to kūno masės centro koordinates, kai
γ
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \gamma =const.}
Kadangi kūnas simteriškas plokštumų xOy ir yOz atžvilgiu, tai
x
c
=
y
c
=
0.
{\displaystyle x_{c}=y_{c}=0.}
Rasime
z
c
{\displaystyle z_{c}}
koordinatę. Pagal sąlygą,
γ
=
c
o
n
s
t
,
{\displaystyle \gamma =const,}
todėl iš formulių išplaukia, kad
z
c
=
∭
V
z
d
z
d
y
d
z
∭
V
d
x
d
y
d
z
.
{\displaystyle z_{c}={\iiint _{V}zdzdydz \over \iiint _{V}dxdydz}.}
Integralus apskaičiuosime pakeisdami juos kartotiniais cilindrinėje koordinačių sistemoje.
z
c
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
2
ρ
d
ρ
∫
ρ
2
4
z
d
z
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
2
ρ
d
ρ
∫
ρ
2
4
d
z
=
1
2
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
2
(
16
−
ρ
2
)
ρ
d
ρ
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
2
(
4
−
ρ
2
)
ρ
d
ρ
=
{\displaystyle z_{c}={\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{4}z\;dz \over \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}}^{4}dz}={{1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}(16-\rho ^{2})\rho d\rho \over \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}(4-\rho ^{2})\rho d\rho }=}
=
1
2
∫
0
2
π
(
16
ρ
2
2
−
ρ
6
6
)
|
0
2
d
ϕ
∫
0
2
π
(
4
ρ
2
2
−
ρ
4
4
)
|
0
2
d
ϕ
=
1
2
∫
0
2
π
(
32
−
32
3
)
|
0
2
d
ϕ
∫
0
2
π
(
8
−
4
)
|
0
2
d
ϕ
=
1
2
⋅
64
3
⋅
2
π
4
⋅
2
π
=
8
3
.
{\displaystyle ={{1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }(16{\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{6} \over 6})|_{0}^{2}d\phi \over \int _{0}^{2\pi }(4{\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{2}d\phi }={{1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }(32-{32 \over 3})|_{0}^{2}d\phi \over \int _{0}^{2\pi }(8-4)|_{0}^{2}d\phi }={{1 \over 2}\cdot {64 \over 3}\cdot 2\pi \over 4\cdot 2\pi }={8 \over 3}.}
Kūno inercijos momentai
Taško M (x; y; z), kurio masė m , inercijos momentai koordinačių plokštumų xOy , xOz ir yOz atžvilgiu išreiškiami formulėmis
I
x
O
y
=
z
2
m
,
{\displaystyle I_{xOy}=z^{2}m,}
I
x
O
z
=
y
2
m
,
{\displaystyle I_{xOz}=y^{2}m,}
I
y
O
z
=
x
2
m
,
{\displaystyle I_{yOz}=x^{2}m,}
ašių Ox , Oy , Oz atžvilgiu - formulėmis
I
x
x
=
(
y
2
+
z
2
)
m
,
{\displaystyle I_{xx}=(y^{2}+z^{2})m,}
I
y
y
=
(
x
2
+
z
2
)
m
,
{\displaystyle I_{yy}=(x^{2}+z^{2})m,}
I
z
z
=
(
x
2
+
y
2
)
m
,
{\displaystyle I_{zz}=(x^{2}+y^{2})m,}
koordinačių pradžios atžvilgiu - formule
I
0
=
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
m
.
{\displaystyle I_{0}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})m.}
Kūno inercijos momentai išreiškiami atitinkamais trilypiais integralais. Pavyzdžiui, tam tikros masės kūno, kurio tankis
γ
(
x
,
y
,
z
)
,
{\displaystyle \gamma (x,y,z),}
inercijos momentas plokštumos xOy atžvilgiu apskaičiuojamas pagal formulę
I
x
O
y
=
∭
V
z
2
γ
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
,
{\displaystyle I_{xOy}=\iiint _{V}z^{2}\gamma (x,y,z)dxdydz,}
ašies Oz atžvilgiu - pagal formulę
I
z
z
=
∭
V
(
x
2
+
y
2
)
γ
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle I_{zz}=\iiint _{V}(x^{2}+y^{2})\gamma (x,y,z)dxdydz}
ir t. t.
Pavyzdžiai
Vaizdas:Trilmech2.PNG Paraboloidas paslinktas žemyne nuo viršaus 4-8/3=4/3.
Apskaičiuokime kūno, kurį riboja paraboloidas
z
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle z=x^{2}+y^{2}}
ir plokštuma
z
=
4
{\displaystyle z=4}
(žr. auksčiau pateiktą pavyzdį apie paraboloido masės centro skaičiavimą), inercijos momentą ašies, einančios per jo masės centrą statmenai to paraboloido sukimosi ašiai, atžvilgiu (
γ
=
1
{\displaystyle \gamma =1}
).
Koordinačių ašis parinkime taip, kad jų pradžios taškas sutaptų su paraboloido masės centru, o ašis Ox būtų statmena paraboloido sukimosi ašiai. Tuomet turėsime rasti
I
x
x
{\displaystyle I_{xx}}
(arba
I
y
y
{\displaystyle I_{yy}}
).
Paraboloido lygtis tokioje koordinačių sistemoje yra
z
+
8
3
=
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle z+{8 \over 3}=x^{2}+y^{2},}
o jo projekcija plokštumoje xOy - sritis, apribota apskritimo
x
2
+
y
2
=
4.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4.}
Taikome formulę
I
x
x
=
∭
V
(
y
2
+
z
2
)
d
x
d
y
d
z
.
{\displaystyle I_{xx}=\iiint _{V}(y^{2}+z^{2})dxdydz.}
Tuomet
J
x
x
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
2
ρ
d
ρ
∫
ρ
2
−
8
/
3
4
/
3
(
ρ
2
sin
2
ϕ
+
z
2
)
d
z
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
2
ρ
(
z
ρ
2
sin
2
ϕ
+
z
3
3
)
|
ρ
2
−
8
3
4
3
d
ρ
=
{\displaystyle J_{xx}=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}\rho d\rho \int _{\rho ^{2}-8/3}^{4/3}(\rho ^{2}\sin ^{2}\phi +z^{2})dz=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}\rho (z\rho ^{2}\sin ^{2}\phi +{z^{3} \over 3})|_{\rho ^{2}-{8 \over 3}}^{4 \over 3}d\rho =}
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
2
[
(
4
ρ
3
−
ρ
5
)
sin
2
ϕ
+
64
9
ρ
−
ρ
7
3
+
8
ρ
5
3
−
64
9
ρ
3
]
d
ρ
=
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{2}[(4\rho ^{3}-\rho ^{5})\sin ^{2}\phi +{64 \over 9}\rho -{\rho ^{7} \over 3}+{8\rho ^{5} \over 3}-{64 \over 9}\rho ^{3}]d\rho =}
=
∫
0
2
π
[
(
ρ
4
−
ρ
6
6
)
sin
2
ϕ
+
32
9
ρ
2
−
ρ
8
24
+
4
ρ
6
9
−
16
9
ρ
4
]
|
0
2
d
ϕ
=
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }[(\rho ^{4}-{\rho ^{6} \over 6})\sin ^{2}\phi +{32 \over 9}\rho ^{2}-{\rho ^{8} \over 24}+{4\rho ^{6} \over 9}-{16 \over 9}\rho ^{4}]|_{0}^{2}d\phi =}
=
∫
0
2
π
(
16
3
sin
2
ϕ
+
128
9
−
64
6
+
256
9
−
256
9
)
d
ϕ
=
∫
0
2
π
(
16
3
sin
2
ϕ
+
32
9
)
d
ϕ
=
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }({16 \over 3}\sin ^{2}\phi +{128 \over 9}-{64 \over 6}+{256 \over 9}-{256 \over 9})d\phi =\int _{0}^{2\pi }({16 \over 3}\sin ^{2}\phi +{32 \over 9})d\phi =}
=
16
3
∫
0
2
π
1
−
cos
(
2
ϕ
)
2
d
ϕ
+
64
π
9
=
16
π
3
−
8
3
∫
0
2
π
cos
(
2
ϕ
)
d
(
2
ϕ
)
2
+
64
π
9
=
112
π
9
−
4
3
sin
(
2
ϕ
)
|
0
2
π
=
112
π
9
.
{\displaystyle ={16 \over 3}\int _{0}^{2\pi }{1-\cos(2\phi ) \over 2}d\phi +{64\pi \over 9}={16\pi \over 3}-{8 \over 3}\int _{0}^{2\pi }\cos(2\phi ){d(2\phi ) \over 2}+{64\pi \over 9}={112\pi \over 9}-{4 \over 3}\sin(2\phi )|_{0}^{2\pi }={112\pi \over 9}.}
Vaizdas:Trilcil3.PNG Paraboloidas.
Apskaičiuosime kūno sritį V , kuri apribota paviršiais
z
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle z=x^{2}+y^{2}}
ir
z
=
1
{\displaystyle z=1}
inercijos momentą Oz ašies atžvilgiu
∭
V
(
x
2
+
y
2
)
d
z
d
y
d
z
.
{\displaystyle \iiint _{V}(x^{2}+y^{2})dzdydz.}
Taip kaip V į plokštumą xOy projektuojasi į skritulį
x
2
+
y
2
≤
1
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1,}
tai koordinatė
ϕ
{\displaystyle \phi }
kinta ribose 0 ir
2
π
{\displaystyle 2\pi }
, koordinatė
ρ
{\displaystyle \rho }
- nuo
ρ
=
0
{\displaystyle \rho =0}
iki
ρ
=
1
{\displaystyle \rho =1}
. Nuolatinei reikšmei
ρ
{\displaystyle \rho }
(
0
≤
ρ
≤
1
)
{\displaystyle (0\leq \rho \leq 1)}
erdvėje Oxyz atitinka cilindras
x
2
+
y
2
=
ρ
2
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}.}
Apžiurinėdami susikirtimą šito cilindro su sritimi V , gauname kitimą koordinčių z nuo reikšmės taškams gulinčių ant paraboloido
z
=
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle z=x^{2}+y^{2},}
iki reikšmių taškams, gulinčių ant plokštumos
z
=
1
{\displaystyle z=1}
, t. y. nuo
z
=
ρ
2
{\displaystyle z=\rho ^{2}}
iki
z
=
1.
{\displaystyle z=1.}
Pritaikę formulę turime
I
z
z
=
∭
V
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
d
z
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
1
d
ρ
∫
ρ
2
1
ρ
2
⋅
ρ
d
z
=
{\displaystyle I_{zz}=\iiint _{V}(x^{2}+y^{2})dxdydz=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}d\rho \int _{\rho ^{2}}^{1}\rho ^{2}\cdot \rho dz=}
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
1
ρ
3
z
|
ρ
2
1
d
ρ
=
∫
0
2
π
(
ρ
4
4
−
ρ
6
6
)
|
0
1
d
ϕ
=
1
12
∫
0
2
π
d
ϕ
=
π
6
.
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}\rho ^{3}z|_{\rho ^{2}}^{1}d\rho =\int _{0}^{2\pi }({\rho ^{4} \over 4}-{\rho ^{6} \over 6})|_{0}^{1}d\phi ={1 \over 12}\int _{0}^{2\pi }d\phi ={\pi \over 6}.}
Trilypis integralas sferinėse koordinatėse
x
=
ρ
sin
θ
cos
ϕ
,
y
=
ρ
sin
θ
sin
ϕ
,
z
=
ρ
cos
θ
(
0
≤
ρ
<
∞
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
0
≤
θ
≤
π
)
.
{\displaystyle x=\rho \sin \theta \cos \phi ,\;y=\rho \sin \theta \sin \phi ,\;z=\rho \cos \theta \;(0\leq \rho <\infty ,\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;0\leq \theta \leq \pi ).}
∭
V
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
T
f
[
ρ
sin
θ
cos
ϕ
,
ρ
sin
θ
sin
ϕ
,
ρ
cos
θ
]
ρ
2
sin
θ
d
ρ
d
ϕ
d
θ
.
{\displaystyle \iiint _{V}f(x,y,z)dxdydz=\iiint _{T}f[\rho \sin \theta \cos \phi ,\;\rho \sin \theta \sin \phi ,\;\rho \cos \theta ]\rho ^{2}\sin \theta d\rho d\phi d\theta .}
x
2
+
y
2
+
z
2
=
ρ
2
sin
2
θ
cos
2
ϕ
+
ρ
2
sin
2
θ
sin
2
ϕ
+
ρ
2
cos
2
θ
=
ρ
2
sin
2
θ
+
ρ
2
cos
2
θ
=
ρ
2
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi +\rho ^{2}\cos ^{2}\theta =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta +\rho ^{2}\cos ^{2}\theta =\rho ^{2}.}
Pavyzdžiai
Apskaičiuosime rutulio
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
R
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}}
tūrį V :
V
=
∭
V
d
x
d
y
d
z
=
∭
T
ρ
2
sin
θ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
=
∫
0
R
d
ρ
∫
0
π
d
θ
∫
0
2
π
ρ
2
sin
θ
d
ϕ
=
{\displaystyle V=\iiint _{V}dxdydz=\iiint _{T}\rho ^{2}\sin \theta d\rho d\theta d\phi =\int _{0}^{R}d\rho \int _{0}^{\pi }d\theta \int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}\sin \theta d\phi =}
=
2
π
∫
0
R
ρ
2
d
ρ
∫
0
π
sin
θ
d
θ
=
−
2
π
∫
0
R
ρ
2
cos
θ
|
0
π
d
ρ
=
4
π
∫
0
R
ρ
2
d
ρ
=
4
π
ρ
3
3
|
0
R
=
4
π
R
3
3
.
{\displaystyle =2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{2}d\rho \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =-2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\cos \theta |_{0}^{\pi }d\rho =4\pi \int _{0}^{R}\rho ^{2}d\rho =4\pi {\rho ^{3} \over 3}|_{0}^{R}={4\pi R^{3} \over 3}.}
Apskaičiuosime rutulio
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
R
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}}
inercijos momentą koordinačių pradžios atžvilgiu. Kadangi
x
2
+
y
2
+
z
2
=
ρ
2
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho ^{2},}
gauname
I
0
=
∭
V
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
T
ρ
2
ρ
2
sin
θ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
=
∫
0
R
ρ
4
d
ρ
∫
0
π
sin
θ
d
θ
∫
0
2
π
d
ϕ
=
{\displaystyle I_{0}=\iiint _{V}(x^{2}+y^{2}+z^{2})dxdydz=\iiint _{T}\rho ^{2}\rho ^{2}\sin \theta d\rho d\theta d\phi =\int _{0}^{R}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi =}
=
2
π
∫
0
R
ρ
4
d
ρ
∫
0
π
sin
θ
d
θ
=
2
π
∫
0
R
ρ
4
(
−
cos
θ
)
|
0
π
d
ρ
=
2
π
∫
0
R
ρ
4
(
1
+
1
)
d
ρ
=
4
π
ρ
5
5
|
0
R
=
4
π
R
5
5
.
{\displaystyle =2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{4}(-\cos \theta )|_{0}^{\pi }d\rho =2\pi \int _{0}^{R}\rho ^{4}(1+1)d\rho =4\pi {\rho ^{5} \over 5}|_{0}^{R}={4\pi R^{5} \over 5}.}
Nustatysime masės centro koordinates viršutinės pusės vienalyčio rutulio V spindulio R esančio centre koordinačių pradžios.
Duotas pusrutulis apribotas paviršiais
z
=
R
2
−
x
2
−
y
2
{\displaystyle z={\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}
ir
z
=
0.
{\displaystyle z=0.}
Dėl pusrutulio simetrijos
x
c
=
y
c
=
0.
{\displaystyle x_{c}=y_{c}=0.}
Koordinatė
z
c
,
{\displaystyle z_{c},}
nustatoma pagal formulę
z
c
=
∭
V
z
d
x
d
y
d
z
∭
V
d
x
d
y
d
z
=
∭
V
z
d
x
d
y
d
z
2
3
π
R
3
.
{\displaystyle z_{c}={\iiint _{V}zdxdydz \over \iiint _{V}dxdydz}={\iiint _{V}zdxdydz \over {2 \over 3}\pi R^{3}}.}
Pereidami į sferines koordinates, gauname
z
c
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
π
/
2
sin
θ
cos
θ
d
θ
∫
0
R
ρ
3
d
ρ
2
3
π
R
3
=
R
4
4
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
π
/
2
sin
θ
d
(
sin
θ
)
2
3
π
R
3
=
R
4
4
∫
0
2
π
sin
2
θ
2
|
0
π
/
2
d
ϕ
2
3
π
R
3
=
{\displaystyle z_{c}={\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{3}d\rho \over {2 \over 3}\pi R^{3}}={{R^{4} \over 4}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi /2}\sin \theta d(\sin \theta ) \over {2 \over 3}\pi R^{3}}={{R^{4} \over 4}\int _{0}^{2\pi }{\sin ^{2}\theta \over 2}|_{0}^{\pi /2}d\phi \over {2 \over 3}\pi R^{3}}=}
=
R
4
4
∫
0
2
π
1
2
d
ϕ
2
3
π
R
3
=
R
4
4
⋅
1
2
⋅
2
π
2
3
π
R
3
=
3
8
R
.
{\displaystyle ={{R^{4} \over 4}\int _{0}^{2\pi }{1 \over 2}d\phi \over {2 \over 3}\pi R^{3}}={{R^{4} \over 4}\cdot {1 \over 2}\cdot 2\pi \over {2 \over 3}\pi R^{3}}={3 \over 8}R.}
Vaizdas:Trilsfer.PNG Pusrutulis.
Apskaičiuosime masę pusrutulio V spindulio R , jeigu masės pasiskirstimas tankis kiekviename jo taške proporcingas atstumui taško nuo tam tikro fiksuoto taško O ant krašto pusrutulio pagrindo.
Išrinksime koordinačių pradžią taške O , o plokštumą xOy pusrutulio taip, kad pusrutulio centras gulėtų ant ašies Oy .
Tada lygtys paviršiaus, apribojančio kūną V iš viršaus, užsirašis pavidale:
x
2
+
(
y
−
R
)
2
+
z
2
=
R
2
,
{\displaystyle x^{2}+(y-R)^{2}+z^{2}=R^{2},}
x
2
+
y
2
+
z
2
=
2
R
y
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Ry,}
ρ
=
2
R
sin
θ
sin
ϕ
,
{\displaystyle \rho =2R\sin \theta \sin \phi ,}
masės pasiskirstimo tankis nustatomas formule
γ
=
k
x
2
+
y
2
+
z
2
,
{\displaystyle \gamma =k{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}
masės nustatymas reiškia apskaičiavimą integralo
m
=
k
∭
V
x
2
+
y
2
+
z
2
d
x
d
y
d
z
=
k
∭
T
ρ
⋅
ρ
2
sin
θ
d
ρ
d
ϕ
d
θ
=
{\displaystyle m=k\iiint _{V}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}dxdydz=k\iiint _{T}\rho \cdot \rho ^{2}\sin \theta d\rho d\phi d\theta =}
=
k
∫
0
π
d
ϕ
∫
0
π
2
sin
θ
d
θ
∫
0
2
R
sin
θ
sin
ϕ
ρ
3
d
ρ
=
4
k
R
4
∫
0
π
sin
4
ϕ
d
ϕ
∫
0
π
2
sin
5
θ
d
θ
=
4
k
R
4
∫
0
π
sin
4
ϕ
4
!
!
5
!
!
d
ϕ
=
{\displaystyle =k\int _{0}^{\pi }d\phi \int _{0}^{\pi \over 2}\sin \theta d\theta \int _{0}^{2R\sin \theta \sin \phi }\rho ^{3}d\rho =4kR^{4}\int _{0}^{\pi }\sin ^{4}\phi d\phi \int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{5}\theta d\theta =4kR^{4}\int _{0}^{\pi }\sin ^{4}\phi {4!! \over 5!!}d\phi =}
=
4
k
R
4
⋅
4
⋅
2
5
⋅
3
∫
0
π
sin
4
ϕ
d
ϕ
=
32
k
R
4
15
∫
0
π
2
2
sin
4
ϕ
d
ϕ
=
32
k
R
4
15
⋅
2
⋅
3
4
⋅
2
⋅
π
2
=
32
k
R
4
15
⋅
3
π
8
=
4
k
π
R
4
5
.
{\displaystyle =4kR^{4}\cdot {4\cdot 2 \over 5\cdot 3}\int _{0}^{\pi }\sin ^{4}\phi d\phi ={32kR^{4} \over 15}\int _{0}^{\pi \over 2}2\sin ^{4}\phi d\phi ={32kR^{4} \over 15}\cdot 2\cdot {3 \over 4\cdot 2}\cdot {\pi \over 2}={32kR^{4} \over 15}\cdot {3\pi \over 8}={4k\pi R^{4} \over 5}.}
Integruodami pasianaudojome dvigubu faktorialu trigonometrijoje:
∫
0
π
2
sin
n
x
d
x
=
∫
0
π
2
cos
n
x
d
x
=
(
n
−
1
)
!
!
n
!
!
⋅
π
2
,
{\displaystyle \int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{n}x\;dx=\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{n}x\;dx={(n-1)!! \over n!!}\cdot {\pi \over 2},}
kai n lyginis;
∫
0
π
2
sin
n
x
d
x
=
∫
0
π
2
cos
n
x
d
x
=
(
n
−
1
)
!
!
n
!
!
,
{\displaystyle \int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{n}x\;dx=\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{n}x\;dx={(n-1)!! \over n!!},}
kai n nelyginis.