Matematika/Paprasčiausios algebrinės lygtys

Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.

Naudosime tokį žymėjimą: x, x₁, x₂ ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.

Pagrindinė algebros teorema

$n$-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).

Tiesinė lygtis

Bendra forma:

$a\cdot x=b$

Sprendinys:

$x={\frac {b}{a}}$

Nepilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^{2}=b\,$

Sprendimas:

${\begin{aligned}x^{2}&={\frac {b}{a}}\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {\frac {a}{b}}}\end{aligned}}$

Pilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Sprendimas:

randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:

$D=b^{2}-4ac\,$

Tada jei $D<0$, tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$

Kvadratinė lygtis, kurios $c=0$

Bendra forma:

$ax^{2}+bx=0\,$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax+b)=0\,$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

${\begin{aligned}x=0\qquad \operatorname {arba} \qquad ax&=-b\\x&=-{\frac {b}{a}}\end{aligned}}$

Bikvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^{4}+bx^{2}+c=0\,$

Sprendimas:

pažymime $x^{2}=y\,$, tada $x^{4}=y^{2}\,$.

$ay^{2}+by+c=0\,$,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra $y_{1}$ ir $y_{2}$.

Grįžtame prie pažymėjimo:

$y_{1}=x^{2}\qquad \operatorname {ir} \qquad y_{2}=x^{2}$,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$.

Kubinė lygtis, kurios $d=0$

Bendra forma:

$ax^{3}+bx^{2}+cx=0\,$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax^{2}+bx+c)=0\,$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

$x=0\qquad \operatorname {arba} \qquad ax^{2}+bx+c=0$

Išsprendę kvadratinę lygtį, būsime radę visus tris lygties sprendinius $x_{1},x_{2},x_{3}$.

Pilnoji kubinė lygtis

Bendra forma:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu $x=y-{\frac {b}{3}}$, pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

$x^{3}+px+q=0\,$.

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

$D=({\frac {q}{2}})^{2}+({\frac {p}{3}})^{3}$

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:

1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

$x_{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {D}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {D}}}}$

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$ padaliję iš reiškinio $x-x_{1}\,$, gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.