Dvilypiai integralai skirti pagreitinti integralų (tūrio , ploto ir kt.) skaičiavimą, kad, užuot dalinus į kelias dalis ir integruojant kiekvieną dalį atskirai, būtų galimą greičiau suintegruoti.
Dvylipis integralas Dekarto koordinatėse
Dvilypio integralo skaičiavimo pavyzdžiai.
1.
Dvilypį integralą
∬
D
f
(
x
;
y
)
d
x
d
x
{\displaystyle \iint _{D}f(x;y)dxdx}
pakeisime kartotiniu, kai sritį D riboja ašis Oy , parabolė
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
ir tiesė
x
+
y
=
2.
{\displaystyle x+y=2.}
Pirmiausia randame kreivių
x
+
y
=
2
{\displaystyle x+y=2}
ir
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
susikirtimo tašką A . Tuo tikslu išsprendžiame lygčių sistemą
{
x
+
y
=
2
,
{\displaystyle x+y=2,}
{
y
=
x
,
{\displaystyle y={\sqrt {x}},}
iš kurios randame: x=1; y=1. Sritį D Gausime, kai x kis nuo 0 iki 1, o y - nuo apatinės kreivės
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
iki viršutinės
y
=
2
−
x
.
{\displaystyle y=2-x.}
Todėl
∬
D
f
(
x
;
y
)
d
x
d
y
=
∫
0
1
d
x
∫
x
2
−
x
f
(
x
;
y
)
d
y
.
{\displaystyle \iint _{D}f(x;y)dxdy=\int _{0}^{1}dx\int _{\sqrt {x}}^{2-x}f(x;y)dy.}
Kad gauti D srities plotą reikia skaičiuoti šitaip:
∫
0
1
d
x
∫
x
2
−
x
d
y
=
∫
0
1
y
|
x
2
−
x
d
x
=
∫
0
1
(
2
−
x
−
x
)
d
x
=
(
2
x
−
x
2
2
−
2
3
x
3
2
)
|
0
1
=
−
2
+
1
2
+
2
3
=
−
5
6
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}dx\int _{\sqrt {x}}^{2-x}dy=\int _{0}^{1}y|_{\sqrt {x}}^{2-x}dx=\int _{0}^{1}(2-x-{\sqrt {x}})dx=(2x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {2}{3}}x^{3 \over 2})|_{0}^{1}=-2+{1 \over 2}+{2 \over 3}=-{5 \over 6}.}
Šį plotą galima gauti ir suskaičiavus atskirai trikampio plotą ir po parabolę
(
x
=
y
)
{\displaystyle ({\sqrt {x}}=y)}
x
=
y
2
{\displaystyle x=y^{2}}
nuo 0 iki
(
−
1
)
{\displaystyle (-1)}
.
S
Δ
=
1
2
1
⋅
1
=
1
2
,
{\displaystyle S_{\Delta }={1 \over 2}1\cdot 1={1 \over 2},}
S
p
a
r
a
b
=
∫
0
−
1
y
2
d
y
=
y
3
3
|
0
−
1
=
1
3
,
{\displaystyle S_{parab}=\int _{0}^{-1}y^{2}dy={y^{3} \over 3}|_{0}^{-1}={1 \over 3},}
S
=
S
Δ
+
S
p
a
r
a
b
=
1
2
+
1
3
=
5
6
.
{\displaystyle S=S_{\Delta }+S_{parab}={1 \over 2}+{1 \over 3}={5 \over 6}.}
Tą patį plotą galima gauti dvilypį integralą skaičiuojant šitaip:
∫
0
1
d
y
∫
0
y
2
d
x
+
∫
1
2
d
y
∫
0
2
−
y
d
x
=
∫
0
1
x
|
0
y
2
d
y
+
∫
1
2
x
|
0
2
−
y
d
x
=
∫
0
1
y
2
d
y
+
∫
1
2
(
2
−
y
)
d
y
=
{\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{y^{2}}dx+\int _{1}^{2}dy\int _{0}^{2-y}dx=\int _{0}^{1}x|_{0}^{y^{2}}dy+\int _{1}^{2}x|_{0}^{2-y}dx=\int _{0}^{1}y^{2}dy+\int _{1}^{2}(2-y)dy=}
=
y
3
3
|
0
1
+
(
2
y
−
y
2
2
)
|
1
2
=
1
3
+
4
−
2
−
2
+
1
2
=
5
6
.
{\displaystyle ={y^{3} \over 3}|_{0}^{1}+(2y-{y^{2} \over 2})|_{1}^{2}={1 \over 3}+4-2-2+{1 \over 2}={5 \over 6}.}
Apskaičiuosime srities D plotą, kurį apriboja parabolė
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
ir parabolė
y
=
x
2
,
{\displaystyle y=x^{2},}
kai x kinta nuo 0 iki 1.
∫
0
1
d
x
∫
x
2
x
d
y
=
∫
0
1
y
|
x
2
x
d
x
=
∫
0
1
(
x
−
x
2
)
d
x
=
(
2
3
x
3
2
−
x
3
3
)
|
0
1
=
2
3
−
1
3
=
1
3
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{\sqrt {x}}dy=\int _{0}^{1}y|_{x^{2}}^{\sqrt {x}}dx=\int _{0}^{1}({\sqrt {x}}-x^{2})dx=({2 \over 3}x^{3 \over 2}-{x^{3} \over 3})|_{0}^{1}={2 \over 3}-{1 \over 3}={1 \over 3}.}
2.
Tą patį atsakymą galima gauti iš pradžių apskaičiavus plotą po parabole
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
ir paskui atėmus iš ploto po parabole
y
=
x
2
.
{\displaystyle y=x^{2}.}
Plotas po parabole
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
apskaičiuojamas taip:
S
1
=
∫
0
1
x
2
d
x
=
x
3
3
|
0
1
=
1
3
.
{\displaystyle S_{1}=\int _{0}^{1}x^{2}dx={x^{3} \over 3}|_{0}^{1}={1 \over 3}.}
Plotas po parabole
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
yra:
S
2
=
∫
0
1
x
d
x
=
2
3
x
3
2
|
0
1
=
2
3
.
{\displaystyle S_{2}=\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}dx={2 \over 3}x^{3 \over 2}|_{0}^{1}={2 \over 3}.}
Atėmus plotą po parabole
y
=
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
iš ploto po parabole
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
gauname ieškomą plotą:
S
=
S
2
−
S
1
=
2
3
−
1
3
=
1
3
.
{\displaystyle S=S_{2}-S_{1}={2 \over 3}-{1 \over 3}={1 \over 3}.}
Apskaičiuosime integralą
∬
D
x
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{D}xdxdy}
srityje D , apribota linija
y
=
−
x
;
{\displaystyle y=-x;}
y
=
1
;
{\displaystyle y=1;}
y
=
x
2
.
{\displaystyle y=x^{2}.}
Iš kairės pusės gaunasi trikampis, kurio krašinė a lygiagreti x ašiai ir lygi 1, o kita krašinėb sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, o trikampio įžambinė lygi
1
2
+
1
2
=
2
{\displaystyle {\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}}
. Iš dešinės pusės viena krašinė lygiagreti x ašiai ir lygi 1 (nes
1
=
x
2
=
1
2
{\displaystyle 1=x^{2}=1^{2}}
), o kita krašinė sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, šoną riboja parabolė.
3.
∬
D
d
x
d
y
=
∫
0
1
d
y
∫
−
y
y
d
x
=
∫
0
1
x
|
−
y
y
d
y
=
∫
0
1
(
y
+
y
)
d
y
=
{\displaystyle \iint _{D}dxdy=\int _{0}^{1}dy\int _{-y}^{\sqrt {y}}dx=\int _{0}^{1}x|_{-y}^{\sqrt {y}}dy=\int _{0}^{1}({\sqrt {y}}+y)dy=}
=
(
2
3
y
3
2
+
y
2
2
)
|
0
1
=
2
3
+
1
2
=
7
6
.
{\displaystyle =({2 \over 3}y^{3 \over 2}+{y^{2} \over 2})|_{0}^{1}={2 \over 3}+{1 \over 2}={7 \over 6}.}
Šios dvimatės figuros plotą taip pat galima apskaičiuoti šitaip:
S
Δ
=
1
2
;
{\displaystyle S_{\Delta }={1 \over 2};}
S
1
=
1
2
−
∫
0
1
x
2
d
x
=
1
−
x
3
3
|
0
1
=
1
−
1
3
=
2
3
;
{\displaystyle S_{1}=1^{2}-\int _{0}^{1}x^{2}dx=1-{x^{3} \over 3}|_{0}^{1}=1-{1 \over 3}={2 \over 3};}
S
=
S
Δ
+
S
1
=
1
2
+
2
3
=
7
6
.
{\displaystyle S=S_{\Delta }+S_{1}={1 \over 2}+{2 \over 3}={7 \over 6}.}
4.
Apskaičiuosime ploksčios figuros plotą D apribotą
y
2
=
x
+
1
;
{\displaystyle y^{2}=x+1;}
x
+
y
=
1.
{\displaystyle x+y=1.}
Sritis D apribota iš kairės parabole
x
=
y
2
−
1
,
{\displaystyle x=y^{2}-1,}
iš kairės - atkrapa
x
=
1
−
y
.
{\displaystyle x=1-y.}
Išsprendę sistemą, randame parabolės ir tiesės susikirtimo taškus
y
2
−
1
=
1
−
y
,
{\displaystyle y^{2}-1=1-y,}
y
2
+
y
−
2
=
0
;
{\displaystyle y^{2}+y-2=0;}
D
=
b
2
−
4
a
c
=
1
+
8
=
9
;
{\displaystyle D=b^{2}-4ac=1+8=9;}
x
1
;
2
=
−
b
±
D
2
a
=
−
1
±
3
2
=
−
2
;
1.
{\displaystyle x_{1;2}={-b\pm {\sqrt {D}} \over 2a}={-1\pm 3 \over 2}=-2;1.}
∬
D
d
x
d
y
=
∫
−
2
1
d
y
∫
y
2
−
1
1
−
y
d
x
=
∫
−
2
1
(
2
−
y
−
y
2
)
d
y
=
(
2
y
−
y
2
2
−
y
3
3
)
|
−
2
1
=
2
−
1
2
−
1
3
+
4
+
2
−
8
3
=
9
2
.
{\displaystyle \iint _{D}dxdy=\int _{-2}^{1}dy\int _{y^{2}-1}^{1-y}dx=\int _{-2}^{1}(2-y-y^{2})dy=(2y-{y^{2} \over 2}-{y^{3} \over 3})|_{-2}^{1}=2-{1 \over 2}-{1 \over 3}+4+2-{8 \over 3}={9 \over 2}.}
Galima šį dvilypį integralą integruot ir sukeitus funkcijas vietomis, bet reiketų tada dalinti į dvi dalis.
Šio uždavinio reikalaujamą plotą galima surasti ir paprastu būdu:
S
1
=
∫
−
2
1
(
1
−
y
)
d
y
=
(
y
−
y
2
2
|
−
2
1
=
1
−
1
2
−
(
−
2
−
2
)
=
5
−
1
2
=
9
2
;
{\displaystyle S_{1}=\int _{-2}^{1}(1-y)dy=(y-{y^{2} \over 2}|_{-2}^{1}=1-{1 \over 2}-(-2-2)=5-{1 \over 2}={9 \over 2};}
S
2
=
∫
−
1
1
(
y
2
−
1
)
d
y
=
(
y
3
3
−
y
)
|
−
1
1
=
1
3
−
1
−
(
−
1
3
+
1
)
=
2
3
−
2
=
−
4
3
;
|
S
2
|
=
4
3
.
{\displaystyle S_{2}=\int _{-1}^{1}(y^{2}-1)dy=({y^{3} \over 3}-y)|_{-1}^{1}={1 \over 3}-1-(-{1 \over 3}+1)={2 \over 3}-2=-{4 \over 3};\;|S_{2}|={4 \over 3}.}
S
3
=
∫
−
2
−
1
(
y
2
−
1
)
d
y
=
(
y
3
3
−
y
)
|
−
2
−
1
=
−
8
3
+
2
−
(
−
1
3
+
1
)
=
−
7
3
+
1
=
−
4
3
;
|
S
3
|
=
4
3
.
{\displaystyle S_{3}=\int _{-2}^{-1}(y^{2}-1)dy=({y^{3} \over 3}-y)|_{-2}^{-1}=-{8 \over 3}+2-(-{1 \over 3}+1)=-{7 \over 3}+1=-{4 \over 3};\;|S_{3}|={4 \over 3}.}
S
=
S
1
−
|
S
3
|
+
|
S
2
|
=
9
2
−
4
3
+
4
3
=
9
2
.
{\displaystyle S=S_{1}-|S_{3}|+|S_{2}|={9 \over 2}-{4 \over 3}+{4 \over 3}={9 \over 2}.}
Rasime tūrį kūno V , apriboto paviršiais
y
=
x
2
;
{\displaystyle y=x^{2};}
y
=
1
;
{\displaystyle y=1;}
z
=
0
;
{\displaystyle z=0;}
z
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle z=x^{2}+y^{2}.}
Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas su pagrindu D , apribotas iš viršaus paraboloidu
z
=
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle z=x^{2}+y^{2},}
tai turime:
V
=
∬
D
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
=
2
∫
0
1
d
y
∫
0
y
(
x
2
+
y
2
)
d
x
=
2
∫
0
1
(
x
3
3
+
x
y
2
)
|
0
y
=
2
∫
0
1
(
1
3
y
3
2
+
y
5
2
)
d
y
=
{\displaystyle V=\iint _{D}(x^{2}+y^{2})dxdy=2\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x^{2}+y^{2})dx=2\int _{0}^{1}({x^{3} \over 3}+xy^{2})|_{0}^{\sqrt {y}}=2\int _{0}^{1}({1 \over 3}y^{3 \over 2}+y^{5 \over 2})dy=}
=
2
(
2
3
⋅
5
y
5
2
+
2
7
y
7
2
)
|
0
1
=
2
(
2
15
+
2
7
)
=
88
105
.
{\displaystyle =2({2 \over 3\cdot 5}y^{5 \over 2}+{2 \over 7}y^{7 \over 2})|_{0}^{1}=2({2 \over 15}+{2 \over 7})={88 \over 105}.}
Rasime tūrį kūno V , išpjauto iš begalines prizmės (stačiakampio gretasienio , kurio plotis ir aukštis
a
=
b
=
2
{\displaystyle a=b=2}
, o ilgis begalinis
c
=
∞
{\displaystyle c=\infty }
) ribomis
x
=
±
1
;
{\displaystyle x=\pm 1;}
y
=
±
1
{\displaystyle y=\pm 1}
ir paraboloidais (iš viršaus ir apčios atitinkamai)
x
2
+
y
2
=
4
−
z
;
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4-z;}
x
2
+
y
2
=
4
(
z
+
2
)
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4(z+2).}
Tūrį kūno V randame kaip sumą tūrių
V
1
{\displaystyle V_{1}}
ir
V
2
{\displaystyle V_{2}}
jo dalių, gulinčių atitinkamai virš ir po plokštuma XOY . Tokiu budu
V
1
=
∬
D
(
4
−
x
2
−
y
2
)
d
x
d
y
=
4
∫
0
1
d
x
∫
0
1
(
4
−
x
2
−
y
2
)
d
y
=
4
∫
0
1
(
4
−
x
2
−
1
3
)
d
x
=
40
3
;
{\displaystyle V_{1}=\iint _{D}(4-x^{2}-y^{2})dxdy=4\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}(4-x^{2}-y^{2})dy=4\int _{0}^{1}(4-x^{2}-{1 \over 3})dx={40 \over 3};}
V
2
=
−
∬
D
(
x
2
+
y
2
4
−
2
)
d
x
d
y
=
−
4
∫
0
1
d
x
∫
0
1
(
x
2
+
y
2
4
−
2
)
d
y
=
−
4
∫
0
1
(
x
2
4
+
1
12
−
2
)
d
x
=
{\displaystyle V_{2}=-\iint _{D}({x^{2}+y^{2} \over 4}-2)dxdy=-4\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}({x^{2}+y^{2} \over 4}-2)dy=-4\int _{0}^{1}({x^{2} \over 4}+{1 \over 12}-2)dx=}
=
−
4
(
1
12
+
1
12
−
2
)
=
22
3
;
V
=
V
1
+
V
2
=
40
3
+
22
3
=
62
3
.
{\displaystyle =-4({1 \over 12}+{1 \over 12}-2)={22 \over 3};\;V=V_{1}+V_{2}={40 \over 3}+{22 \over 3}={62 \over 3}.}
Kūną riboja koordinačių plokštumos
x
=
0
,
{\displaystyle x=0,}
y
=
0
,
{\displaystyle y=0,}
z
=
0
,
{\displaystyle z=0,}
cilindrinis paviršius
z
=
9
−
x
2
{\displaystyle z=9-x^{2}}
ir plokštuma
x
+
y
=
3.
{\displaystyle x+y=3.}
Apskaičiuokime to kūno tūrį. Integravimo sritis D yra projekcija plok6tumoje xOy . Žinome, kad kūno tūris
V
=
∬
D
(
9
−
x
2
)
d
x
d
y
=
∫
0
3
d
x
∫
0
3
−
x
(
9
−
x
2
)
d
y
=
∫
0
3
(
9
y
−
x
2
y
)
|
0
3
−
x
d
x
=
{\displaystyle V=\iint _{D}(9-x^{2})dxdy=\int _{0}^{3}dx\int _{0}^{3-x}(9-x^{2})dy=\int _{0}^{3}(9y-x^{2}y)|_{0}^{3-x}dx=}
=
∫
0
3
(
27
−
9
x
−
3
x
2
+
x
3
)
d
x
=
(
27
x
−
9
x
2
2
−
x
3
+
x
4
4
)
|
0
3
=
33.75.
{\displaystyle =\int _{0}^{3}(27-9x-3x^{2}+x^{3})dx=(27x-{9x^{2} \over 2}-x^{3}+{x^{4} \over 4})|_{0}^{3}=33.75.}
5.
Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais
x
=
0
,
{\displaystyle x=0,}
y
=
0
,
{\displaystyle y=0,}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
ir
x
+
y
+
z
=
1.
{\displaystyle x+y+z=1.}
Turime
V
=
∬
D
(
1
−
x
−
y
)
d
x
d
y
,
{\displaystyle V=\iint _{D}(1-x-y)dxdy,}
kur D - trikampė integravimo sritis, apribota tiesėmis
x
=
0
,
{\displaystyle x=0,}
y
=
0
,
{\displaystyle y=0,}
x
+
y
=
1.
{\displaystyle x+y=1.}
Išdestydami integravimo ribas šiame integrale, gauname
V
=
∫
0
1
d
x
∫
0
1
−
x
(
1
−
x
−
y
)
d
y
=
∫
0
1
(
y
−
x
y
−
y
2
2
)
|
0
1
−
x
d
x
=
{\displaystyle V=\int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1-x}(1-x-y)dy=\int _{0}^{1}(y-xy-{y^{2} \over 2})|_{0}^{1-x}dx=}
=
∫
0
1
(
1
−
x
−
x
+
x
2
−
1
2
+
x
−
x
2
2
)
d
x
=
∫
0
1
(
1
2
−
x
+
x
2
2
)
d
x
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}(1-x-x+x^{2}-{1 \over 2}+x-{x^{2} \over 2})dx=\int _{0}^{1}({1 \over 2}-x+{x^{2} \over 2})dx=}
=
(
x
2
−
x
2
2
+
x
3
6
)
|
0
1
=
1
2
−
1
2
+
1
6
=
1
6
.
{\displaystyle =({x \over 2}-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 6})|_{0}^{1}={1 \over 2}-{1 \over 2}+{1 \over 6}={1 \over 6}.}
6.
Kūną riboja tiesės
x
=
y
+
2
{\displaystyle x=y+2}
atkarpa ir parabolės
x
=
y
2
{\displaystyle x=y^{2}}
lankas. Raname funkcijų susikirtimo taškus per diskriminantą .
y
+
2
=
y
2
,
{\displaystyle y+2=y^{2},}
y
2
−
y
−
2
=
0
,
{\displaystyle y^{2}-y-2=0,}
D
=
1
−
4
(
−
2
)
=
9
;
{\displaystyle D=1-4(-2)=9;}
x
1
,
2
=
1
±
3
2
=
−
1
;
2.
{\displaystyle x_{1,2}={1\pm 3 \over 2}=-1;2.}
Randame plotą apribotą šių funkcijų:
S
=
∬
D
d
x
d
y
=
∫
−
1
2
d
y
∫
y
2
y
+
2
d
x
=
∫
−
1
2
(
y
+
2
−
y
2
)
d
y
=
{\displaystyle S=\iint _{D}dxdy=\int _{-1}^{2}dy\int _{y^{2}}^{y+2}dx=\int _{-1}^{2}(y+2-y^{2})dy=}
=
(
y
2
2
+
2
y
−
y
3
3
)
|
−
1
2
=
2
+
4
−
8
3
−
(
1
2
−
2
+
1
3
)
=
8
−
1
2
−
3
=
9
2
.
{\displaystyle =({y^{2} \over 2}+2y-{y^{3} \over 3})|_{-1}^{2}=2+4-{8 \over 3}-({1 \over 2}-2+{1 \over 3})=8-{1 \over 2}-3={9 \over 2}.}
Šį plotą galimą buvo lengvai apskaičiuoti be dvilypio integralo:
S
1
=
∫
−
1
2
(
y
+
2
)
d
y
=
(
y
2
2
+
2
y
)
|
−
1
2
=
2
+
4
−
(
1
2
−
2
)
=
8
−
1
2
=
15
2
;
{\displaystyle S_{1}=\int _{-1}^{2}(y+2)dy=({y^{2} \over 2}+2y)|_{-1}^{2}=2+4-({1 \over 2}-2)=8-{1 \over 2}={15 \over 2};}
S
2
=
∫
−
1
2
y
2
d
y
=
y
3
3
|
−
1
2
=
8
3
+
1
3
=
3
;
{\displaystyle S_{2}=\int _{-1}^{2}y^{2}dy={y^{3} \over 3}|_{-1}^{2}={8 \over 3}+{1 \over 3}=3;}
S
=
S
1
−
S
2
=
15
2
−
3
=
15
−
6
2
=
9
2
.
{\displaystyle S=S_{1}-S_{2}={15 \over 2}-3={15-6 \over 2}={9 \over 2}.}
Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje
Polinėje koordinačių sistemoje
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
D
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
)
ρ
d
ρ
d
ϕ
.
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)dxdy=\iint _{D}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho d\rho d\phi .}
x
=
ρ
cos
ϕ
;
y
=
ρ
sin
ϕ
.
{\displaystyle x=\rho \cos \phi ;\;y=\rho \sin \phi .}
x
2
+
y
2
=
ρ
2
cos
2
ϕ
+
ρ
2
sin
2
ϕ
=
ρ
2
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}\cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\phi =\rho ^{2}.}
Pavyzdžiai
Kūną riboja plokštuma xOy , cilindrinis paviršius
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
ir paraboloidas
z
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle z=x^{2}+y^{2}.}
Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kai D yra skritulio dalis, esanti I ketvirtyje, tai
0
≤
ϕ
≤
π
2
,
0
≤
ρ
≤
1.
{\displaystyle 0\leq \phi \leq {\pi \over 2},\;0\leq \rho \leq 1.}
Tuomet
∬
D
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
=
∬
D
ρ
2
⋅
ρ
d
ρ
d
ϕ
=
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
0
1
ρ
3
d
ρ
=
∫
0
π
2
ρ
4
4
|
0
1
d
ϕ
=
1
4
∫
0
π
2
d
ϕ
=
1
4
ϕ
|
0
π
2
=
π
8
.
{\displaystyle \iint _{D}(x^{2}+y^{2})dxdy=\iint _{D}\rho ^{2}\cdot \rho d\rho d\phi =\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{1}\rho ^{3}d\rho =\int _{0}^{\pi \over 2}{\rho ^{4} \over 4}|_{0}^{1}d\phi ={1 \over 4}\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi ={1 \over 4}\phi |_{0}^{\pi \over 2}={\pi \over 8}.}
Kadangi ketvirčiai yra keturi,
V
=
4
⋅
π
8
=
π
2
.
{\displaystyle V=4\cdot {\pi \over 8}={\pi \over 2}.}
Nepolinėje koordinačių sistemoje sprendimas būtų kur kas sudetingesnis.
1.
Figūrą riboja kreivės
x
2
+
y
2
=
4
x
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4x,}
x
2
+
y
2
=
8
x
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x,}
y
=
x
,
{\displaystyle y=x,}
y
=
x
3
.
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}.}
Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys
x
2
+
y
2
=
4
x
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4x,}
x
2
+
y
2
=
8
x
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x.}
Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
x
2
+
y
2
=
4
x
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4x}
<=>
(
x
−
2
)
2
+
y
2
=
4
,
{\displaystyle (x-2)^{2}+y^{2}=4,}
x
2
+
y
2
=
8
x
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x}
<=>
(
x
−
4
)
2
+
y
2
=
16.
{\displaystyle (x-4)^{2}+y^{2}=16.}
Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje:
ρ
=
4
cos
ϕ
{\displaystyle \rho =4\cos \phi }
ir
ρ
=
8
cos
ϕ
.
{\displaystyle \rho =8\cos \phi .}
Tiesė
y
=
x
{\displaystyle y=x}
su ašimi Ox sudaro kampą
π
4
,
{\displaystyle {\pi \over 4},}
o tiesė
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
- kampą
y
x
=
3
;
tan
ϕ
=
3
;
ϕ
=
arctan
3
=
π
3
.
{\displaystyle {y \over x}={\sqrt {3}};\;\tan \phi ={\sqrt {3}};\;\phi =\arctan {\sqrt {3}}={\pi \over 3}.}
Taigi sritį D gauname, kai
ϕ
{\displaystyle \phi }
kinta nuo
π
4
{\displaystyle {\pi \over 4}}
iki
π
3
,
{\displaystyle {\pi \over 3},}
o
ρ
{\displaystyle \rho }
- nuo
4
cos
ϕ
{\displaystyle 4\cos \phi }
iki
8
cos
ϕ
.
{\displaystyle 8\cos \phi .}
Figūros plotas
S
=
∬
D
d
x
d
y
=
∬
D
ρ
d
ρ
d
ϕ
,
{\displaystyle S=\iint _{D}dxdy=\iint _{D}\rho d\rho d\phi ,}
todėl
S
=
∫
π
4
π
3
d
ϕ
∫
4
cos
ϕ
8
cos
ϕ
ρ
d
ρ
=
1
2
∫
π
4
π
3
ρ
2
|
4
cos
ϕ
8
cos
ϕ
d
ϕ
=
1
2
∫
π
4
π
3
(
64
cos
2
ϕ
−
16
cos
2
ϕ
)
d
ϕ
=
24
∫
π
4
π
3
cos
2
ϕ
d
ϕ
=
{\displaystyle S=\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}d\phi \int _{4\cos \phi }^{8\cos \phi }\rho d\rho ={1 \over 2}\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}\rho ^{2}|_{4\cos \phi }^{8\cos \phi }d\phi ={1 \over 2}\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}(64\cos ^{2}\phi -16\cos ^{2}\phi )d\phi =24\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}\cos ^{2}\phi d\phi =}
=
12
∫
π
4
π
3
(
1
+
cos
(
2
ϕ
)
)
d
ϕ
=
12
(
ϕ
+
1
2
sin
(
2
ϕ
)
)
|
π
4
π
3
=
12
(
π
3
−
π
4
+
1
2
sin
2
π
3
−
1
2
sin
π
2
)
=
{\displaystyle =12\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}(1+\cos(2\phi ))d\phi =12(\phi +{1 \over 2}\sin(2\phi ))|_{\pi \over 4}^{\pi \over 3}=12({\pi \over 3}-{\pi \over 4}+{1 \over 2}\sin {2\pi \over 3}-{1 \over 2}\sin {\pi \over 2})=}
=
12
(
π
12
+
1
2
⋅
3
2
−
1
2
⋅
1
)
=
π
+
3
3
−
6
≈
2
,
337745.
{\displaystyle =12({\pi \over 12}+{1 \over 2}\cdot {{\sqrt {3}} \over 2}-{1 \over 2}\cdot 1)=\pi +3{\sqrt {3}}-6\approx 2,337745.}
Figūrą riboja kreivės
x
2
+
y
2
=
4
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4,}
x
2
+
y
2
=
8
x
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x,}
y
=
x
,
{\displaystyle y=x,}
y
=
x
3
.
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}.}
Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys
x
2
+
y
2
=
4
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4,}
x
2
+
y
2
=
8
x
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x.}
Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
x
2
+
y
2
=
4
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4}
<=>
(
x
−
0
)
2
+
y
2
=
4
,
{\displaystyle (x-0)^{2}+y^{2}=4,}
x
2
+
y
2
=
8
x
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x}
<=>
(
x
−
4
)
2
+
y
2
=
16.
{\displaystyle (x-4)^{2}+y^{2}=16.}
Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (0; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje:
ρ
2
=
4
{\displaystyle \rho ^{2}=4}
,
ρ
=
2
{\displaystyle \rho =2}
ir
ρ
=
8
cos
ϕ
.
{\displaystyle \rho =8\cos \phi .}
Tiesė
y
=
x
{\displaystyle y=x}
su ašimi Ox sudaro kampą
π
4
,
{\displaystyle {\pi \over 4},}
o tiesė
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
- kampą
y
x
=
3
;
tan
ϕ
=
3
;
ϕ
=
arctan
3
=
π
3
.
{\displaystyle {y \over x}={\sqrt {3}};\;\tan \phi ={\sqrt {3}};\;\phi =\arctan {\sqrt {3}}={\pi \over 3}.}
Taigi sritį D gauname, kai
ϕ
{\displaystyle \phi }
kinta nuo
π
4
{\displaystyle {\pi \over 4}}
iki
π
3
,
{\displaystyle {\pi \over 3},}
o
ρ
{\displaystyle \rho }
- nuo
2
{\displaystyle 2}
iki
8
cos
ϕ
.
{\displaystyle 8\cos \phi .}
Figūros plotas
S
=
∬
D
d
x
d
y
=
∬
D
ρ
d
ρ
d
ϕ
,
{\displaystyle S=\iint _{D}dxdy=\iint _{D}\rho d\rho d\phi ,}
todėl
S
=
∫
π
4
π
3
d
ϕ
∫
2
8
cos
ϕ
ρ
d
ρ
=
1
2
∫
π
4
π
3
ρ
2
|
2
8
cos
ϕ
d
ϕ
=
1
2
∫
π
4
π
3
(
64
cos
2
ϕ
−
2
2
)
d
ϕ
=
∫
π
4
π
3
(
32
cos
2
ϕ
−
2
)
d
ϕ
=
{\displaystyle S=\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}d\phi \int _{2}^{8\cos \phi }\rho d\rho ={1 \over 2}\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}\rho ^{2}|_{2}^{8\cos \phi }d\phi ={1 \over 2}\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}(64\cos ^{2}\phi -2^{2})d\phi =\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}(32\cos ^{2}\phi -2)d\phi =}
=
∫
π
4
π
3
(
16
(
1
+
cos
(
2
ϕ
)
)
−
2
)
d
ϕ
=
14
ϕ
+
16
2
sin
(
2
ϕ
)
|
π
4
π
3
=
14
π
3
−
14
π
4
+
8
sin
2
π
3
−
8
sin
π
2
=
{\displaystyle =\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}(16(1+\cos(2\phi ))-2)d\phi =14\phi +{16 \over 2}\sin(2\phi )|_{\pi \over 4}^{\pi \over 3}={14\pi \over 3}-{14\pi \over 4}+8\sin {2\pi \over 3}-8\sin {\pi \over 2}=}
=
14
π
12
+
8
3
2
−
8
≈
2
,
593395.
{\displaystyle ={14\pi \over 12}+{8{\sqrt {3}} \over 2}-8\approx 2,593395.}
Figūrą riboja kreivės
x
2
+
y
2
=
8
x
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x,}
y
=
x
,
{\displaystyle y=x,}
y
=
x
3
.
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}.}
Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis
x
2
+
y
2
=
8
x
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x.}
Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
x
2
+
y
2
=
8
x
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x}
<=>
(
x
−
4
)
2
+
y
2
=
16.
{\displaystyle (x-4)^{2}+y^{2}=16.}
Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:
ρ
2
=
8
ρ
cos
ϕ
{\displaystyle \rho ^{2}=8\rho \cos \phi }
,
ρ
=
8
cos
ϕ
.
{\displaystyle \rho =8\cos \phi .}
Tiesė
y
=
x
{\displaystyle y=x}
su ašimi Ox sudaro kampą
π
4
,
{\displaystyle {\pi \over 4},}
o tiesė
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
- kampą
y
x
=
3
;
tan
ϕ
=
3
;
ϕ
=
arctan
3
=
π
3
.
{\displaystyle {y \over x}={\sqrt {3}};\;\tan \phi ={\sqrt {3}};\;\phi =\arctan {\sqrt {3}}={\pi \over 3}.}
Taigi sritį D gauname, kai
ϕ
{\displaystyle \phi }
kinta nuo
π
4
{\displaystyle {\pi \over 4}}
iki
π
3
,
{\displaystyle {\pi \over 3},}
o
ρ
{\displaystyle \rho }
- nuo
0
{\displaystyle 0}
iki
8
cos
ϕ
.
{\displaystyle 8\cos \phi .}
Figūros plotas
S
=
∬
D
d
x
d
y
=
∬
D
ρ
d
ρ
d
ϕ
,
{\displaystyle S=\iint _{D}dxdy=\iint _{D}\rho d\rho d\phi ,}
todėl
S
=
∫
π
4
π
3
d
ϕ
∫
0
8
cos
ϕ
ρ
d
ρ
=
1
2
∫
π
4
π
3
ρ
2
|
0
8
cos
ϕ
d
ϕ
=
1
2
∫
π
4
π
3
(
64
cos
2
ϕ
−
0
2
)
d
ϕ
=
∫
π
4
π
3
32
cos
2
ϕ
d
ϕ
=
{\displaystyle S=\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}d\phi \int _{0}^{8\cos \phi }\rho d\rho ={1 \over 2}\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}\rho ^{2}|_{0}^{8\cos \phi }d\phi ={1 \over 2}\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}(64\cos ^{2}\phi -0^{2})d\phi =\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}32\cos ^{2}\phi d\phi =}
=
32
∫
π
4
π
3
1
2
(
1
+
cos
(
2
ϕ
)
)
d
ϕ
=
16
ϕ
+
16
2
sin
(
2
ϕ
)
|
π
4
π
3
=
16
π
3
−
16
π
4
+
8
sin
2
π
3
−
8
sin
π
2
=
{\displaystyle =32\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}{1 \over 2}(1+\cos(2\phi ))d\phi =16\phi +{16 \over 2}\sin(2\phi )|_{\pi \over 4}^{\pi \over 3}={16\pi \over 3}-{16\pi \over 4}+8\sin {2\pi \over 3}-8\sin {\pi \over 2}=}
=
4
π
3
+
8
3
2
−
8
⋅
1
=
3
,
11699.
{\displaystyle ={4\pi \over 3}+{8{\sqrt {3}} \over 2}-8\cdot 1=3,11699.}
Dabar rasime šį plotą be integralų. Yra 2 trikampiai, kuriuos sudaro 3 tiesės:
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
,
y
=
x
{\displaystyle y=x}
,
y
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
. Tiese
y
=
x
{\displaystyle y=x}
su asimi Ox sudaro kampą 45 laipsniu arba
π
/
4
{\displaystyle \pi /4}
. Tiesė
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
su ašimi Ox sudaro kampą,
y
x
=
3
{\displaystyle {y \over x}={\sqrt {3}}}
,
sin
α
cos
α
=
3
{\displaystyle {\sin \alpha \over \cos \alpha }={\sqrt {3}}}
,
tan
α
=
3
{\displaystyle \tan \alpha ={\sqrt {3}}}
,
α
=
arctan
3
{\displaystyle \alpha =\arctan {\sqrt {3}}}
,
α
=
π
3
{\displaystyle \alpha ={\pi \over 3}}
arba 60 laipsniu. Tiesė
y
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
su tiese
y
=
x
{\displaystyle y=x}
kertasi šiuose taškuose
x
=
2
,
535898385
{\displaystyle x=2,535898385}
,
y
=
2
,
535898385
{\displaystyle y=2,535898385}
, jie gaunami išsprendus lygčių sistemą:
y
=
x
{\displaystyle y=x}
y
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
.
Keitimo butu gauname,
x
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle x=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
;
x
2
=
(
3
(
4
−
x
)
)
2
{\displaystyle x^{2}=({\sqrt {3}}(4-x))^{2}}
;
x
2
=
3
(
16
−
8
x
+
x
2
)
{\displaystyle x^{2}=3(16-8x+x^{2})}
;
x
2
−
3
x
2
+
24
x
−
48
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x^{2}+24x-48=0}
;
−
2
x
2
+
24
−
48
=
0
{\displaystyle -2x^{2}+24-48=0}
;
D
=
b
2
−
4
a
c
=
24
2
−
4
⋅
(
−
2
)
⋅
(
−
48
)
=
576
−
384
=
192
{\displaystyle D=b^{2}-4ac=24^{2}-4\cdot (-2)\cdot (-48)=576-384=192}
,
x
1
=
−
b
+
D
2
a
=
−
24
+
192
2
⋅
(
−
2
)
=
−
24
+
8
3
−
4
=
6
−
2
3
≈
2
,
535898385
{\displaystyle x_{1}={-b+{\sqrt {D}} \over 2a}={-24+{\sqrt {192}} \over 2\cdot (-2)}={-24+8{\sqrt {3}} \over -4}=6-2{\sqrt {3}}\approx 2,535898385}
;
x
2
=
−
24
−
192
−
4
=
6
+
2
3
≈
9
,
464101615
{\displaystyle x_{2}={-24-{\sqrt {192}} \over -4}=6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464101615}
,
x
2
{\displaystyle x_{2}}
netinka, nes
y
=
x
{\displaystyle y=x}
, nes Ox asimi dirbama nuo 0 iki 4, taip pat netinka grafike, nes nesikerta tieses kai x=9,4641. Dabar randame koks yra y , kai kertasi šios dvi tiesės; y=x, taigi y=2,535898385, tą patį gauname ir įstačius x į lygtį
y
=
3
(
4
−
x
)
=
3
(
4
−
(
6
−
2
3
)
)
=
3
(
4
−
6
+
2
3
)
=
−
2
3
+
2
⋅
3
=
2
,
535898385
{\displaystyle y={\sqrt {3}}(4-x)={\sqrt {3}}(4-(6-2{\sqrt {3}}))={\sqrt {3}}(4-6+2{\sqrt {3}})=-2{\sqrt {3}}+2\cdot 3=2,535898385}
.
Dabar galime rasti ilgį tiesės
y
=
x
{\displaystyle y=x}
iki susikirtimo su apskritimo spinduliu, kuris yra tiesė
y
=
3
(
4
−
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {3}}(4-x)}
, taigi
c
=
a
2
+
b
2
=
2
,
535898385
2
⋅
2
≈
3
,
586301889.
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {2,535898385^{2}\cdot 2}}\approx 3,586301889.}
Taip pat randame ilgį tiesės
y
=
3
(
4
−
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {3}}(4-x)}
iki susikirtimo su tiese
y
=
x
{\displaystyle y=x}
. Taigi,
c
=
a
2
+
b
2
=
(
4
−
2
,
535898385
)
2
+
2
,
535898385
2
=
1
,
464101615
2
+
2
,
535898385
2
=
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {(4-2,535898385)^{2}+2,535898385^{2}}}={\sqrt {1,464101615^{2}+2,535898385^{2}}}=}
=
2
,
92820323.
{\displaystyle =2,92820323.}
Toliau randame tiesės
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
ir tiesės
y
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
susikirtimo taškus. Keitimo budu išsprendžiame sistemą:
x
3
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle x{\sqrt {3}}=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
;
2
x
3
=
4
3
{\displaystyle 2x{\sqrt {3}}=4{\sqrt {3}}}
;
2
x
=
4
{\displaystyle 2x=4}
;
x
=
2
{\displaystyle x=2}
. Įstačius šią reikšmę į lygtį
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
, gauname
y
=
2
3
{\displaystyle y=2{\sqrt {3}}}
, kad tiesės kertasi taške, kai
x
=
2
{\displaystyle x=2}
ir
y
=
2
3
.
{\displaystyle y=2{\sqrt {3}}.}
Pagal pitagoro teorema surandame vienu metu ir tiesės
y
=
3
(
4
−
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {3}}(4-x)}
ir tiesės
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
ilgius (abiejų tiesių ilgiai vienodi) iki jų susikirtimo taško:
c
=
x
2
+
y
2
=
2
2
+
(
2
3
)
2
=
4
+
4
⋅
3
=
16
=
4.
{\displaystyle c={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {2^{2}+(2{\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {4+4\cdot 3}}={\sqrt {16}}=4.}
Dabar galime rasti iškirptą tiesės
y
=
3
(
4
−
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {3}}(4-x)}
dalį kitų dviejų tiesių:
y
=
x
{\displaystyle y=x}
ir
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
. Taigi,
e
=
4
−
2
,
92820323
=
1
,
07179677
{\displaystyle e=4-2,92820323=1,07179677}
.
Žinodami kampą tarp tiesės
y
=
x
{\displaystyle y=x}
ir
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
, kuris yra
α
=
60
−
45
=
15
{\displaystyle \alpha =60-45=15}
laipsnių arba
α
=
π
3
−
π
4
=
π
12
{\displaystyle \alpha ={\pi \over 3}-{\pi \over 4}={\pi \over 12}}
, pagal formulę
S
=
1
2
a
b
sin
α
=
4
⋅
3
,
586301889
2
sin
π
12
=
7
,
172603778
⋅
0
,
258819045
=
1
,
856406461
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \alpha ={4\cdot 3,586301889 \over 2}\sin {\pi \over 12}=7,172603778\cdot 0,258819045=1,856406461}
, gauname plotą trikampio iškirptą tiesių
y
=
x
{\displaystyle y=x}
,
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
ir iš viršaus tiese
y
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
. Tą patį plotą gausime ir taikydami Herono formulę:
p
=
(
a
+
b
+
c
)
/
2
=
(
4
+
3
,
586301889
+
1
,
07179677
)
/
2
=
4
,
32904933
{\displaystyle p=(a+b+c)/2=(4+3,586301889+1,07179677)/2=4,32904933}
;
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
=
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}=}
=
4
,
32904933
(
4
,
32904933
−
4
)
(
4
,
32904933
−
3
,
586301889
)
(
4
,
32904933
−
1
,
07179677
)
=
{\displaystyle ={\sqrt {4,32904933(4,32904933-4)(4,32904933-3,586301889)(4,32904933-1,07179677)}}=}
=
4
,
32904933
⋅
0
,
329049329
⋅
0
,
74274744
⋅
3
,
257252559
=
3
,
446244942
≈
1
,
856406459.
{\displaystyle ={\sqrt {4,32904933\cdot 0,329049329\cdot 0,74274744\cdot 3,257252559}}={\sqrt {3,446244942}}\approx 1,856406459.}
Skaičiuojant dviais būdais plotas sutampa.
Tiesė
y
=
x
{\displaystyle y=x}
su apskritimu
x
2
+
y
2
=
8
x
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=8x}
kertasi taške (x; y)=(4; 4). Jei nuleisime nuo susikirtimo vietos žemyn tiesę statmeną Ox ašiai gausime apskritimo spindulį
r
=
4
{\displaystyle r=4}
. Randame y=x tiesės ilgį nuo (0; 0) iki (4; 4):
d
=
4
2
+
4
2
=
4
2
≈
5
,
656854249
{\displaystyle d={\sqrt {4^{2}+4^{2}}}=4{\sqrt {2}}\approx 5,656854249}
. Toliau randame y=x tiesės ilgį nuo šios tiesės susikirtimo su tiese
y
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
taško iki susikirtimo su apskritimu taško. Taigi,
g
=
5
,
656854249
−
2
,
535898385
2
+
2
,
535898385
2
=
5
,
656854249
−
3
,
586301889
=
2
,
070552361.
{\displaystyle g=5,656854249-{\sqrt {2,535898385^{2}+2,535898385^{2}}}=5,656854249-3,586301889=2,070552361.}
Dabar pagal Herono formulę galime rasti trikampio iškirptą tiesių
y
=
x
{\displaystyle y=x}
,
y
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
ir tiesės x=4, kuri turi taškus (4; 0) ir (4; 4):
p
=
(
a
+
b
+
c
)
/
2
=
(
4
+
2
,
070552361
+
2
,
92820323
)
/
2
=
4
,
499377796
{\displaystyle p=(a+b+c)/2=(4+2,070552361+2,92820323)/2=4,499377796}
;
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
=
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}=}
=
4
,
499377796
(
4
,
499377796
−
4
)
(
4
,
499377796
−
2
,
070552361
)
(
4
,
499377796
−
2
,
92820323
)
=
{\displaystyle ={\sqrt {4,499377796(4,499377796-4)(4,499377796-2,070552361)(4,499377796-2,92820323)}}=}
=
4
,
499377796
⋅
0
,
499377795
⋅
2
,
428825435
⋅
1
,
571174566
≈
8
,
57437415
≈
2
,
928203229.
{\displaystyle ={\sqrt {4,499377796\cdot 0,499377795\cdot 2,428825435\cdot 1,571174566}}\approx {\sqrt {8,57437415}}\approx 2,928203229.}
Kampas tarp tiesės
x
=
4
{\displaystyle x=4}
ir
y
=
3
(
4
−
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {3}}(4-x)}
tiesės yra
β
=
90
−
60
=
30
{\displaystyle \beta =90-60=30}
laipsnių (arba
π
6
{\displaystyle {\pi \over 6}}
) analogiškai kaip iš 90 laipsnių atimti 60 laipsnių kampą, kurį sudaro tiesė
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
su Ox ašimi. Šios dalies plotą galime apskaičiuoti taip:
1
2
⋅
π
6
r
2
=
1
2
⋅
π
6
⋅
4
2
=
8
π
6
≈
4
,
188790205.
{\displaystyle {1 \over 2}\cdot {\pi \over 6}r^{2}={1 \over 2}\cdot {\pi \over 6}\cdot 4^{2}={8\pi \over 6}\approx 4,188790205.}
Iš šito ploto atėmus ką tik suskaičiuoto trikampio plotą gausime dalį ieškomo ploto:
S
1
=
4
,
188790205
−
2
,
928203229
=
1
,
260586976
{\displaystyle S_{1}=4,188790205-2,928203229=1,260586976}
.
Taigi visos ieškomos dalies plotas yra
S
v
=
S
1
+
S
t
r
i
k
a
m
=
1
,
260586976
+
1
,
856406461
≈
3
,
116993437.
{\displaystyle S_{v}=S_{1}+S_{trikam}=1,260586976+1,856406461\approx 3,116993437.}
Visai toks kaip integruojant.
Figūrą riboja kreivės
x
2
+
y
2
=
4
x
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4x,}
y
=
x
,
{\displaystyle y=x,}
y
=
x
3
.
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}.}
Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis
x
2
+
y
2
=
4
x
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4x.}
Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
x
2
+
y
2
=
4
x
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4x}
<=>
(
x
−
2
)
2
+
y
2
=
4.
{\displaystyle (x-2)^{2}+y^{2}=4.}
Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:
ρ
2
=
4
ρ
cos
ϕ
{\displaystyle \rho ^{2}=4\rho \cos \phi }
,
ρ
=
4
cos
ϕ
.
{\displaystyle \rho =4\cos \phi .}
Tiesė
y
=
x
{\displaystyle y=x}
su ašimi Ox sudaro kampą
π
4
,
{\displaystyle {\pi \over 4},}
o tiesė
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
- kampą
y
x
=
3
;
tan
ϕ
=
3
;
ϕ
=
arctan
3
=
π
3
.
{\displaystyle {y \over x}={\sqrt {3}};\;\tan \phi ={\sqrt {3}};\;\phi =\arctan {\sqrt {3}}={\pi \over 3}.}
Taigi sritį D gauname, kai
ϕ
{\displaystyle \phi }
kinta nuo
π
4
{\displaystyle {\pi \over 4}}
iki
π
3
,
{\displaystyle {\pi \over 3},}
o
ρ
{\displaystyle \rho }
- nuo
0
{\displaystyle 0}
iki
8
cos
ϕ
.
{\displaystyle 8\cos \phi .}
Figūros plotas
S
=
∬
D
d
x
d
y
=
∬
D
ρ
d
ρ
d
ϕ
,
{\displaystyle S=\iint _{D}dxdy=\iint _{D}\rho d\rho d\phi ,}
todėl
S
=
∫
π
4
π
3
d
ϕ
∫
0
4
cos
ϕ
ρ
d
ρ
=
1
2
∫
π
4
π
3
ρ
2
|
0
4
cos
ϕ
d
ϕ
=
1
2
∫
π
4
π
3
(
16
cos
2
ϕ
−
0
2
)
d
ϕ
=
∫
π
4
π
3
8
cos
2
ϕ
d
ϕ
=
{\displaystyle S=\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}d\phi \int _{0}^{4\cos \phi }\rho d\rho ={1 \over 2}\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}\rho ^{2}|_{0}^{4\cos \phi }d\phi ={1 \over 2}\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}(16\cos ^{2}\phi -0^{2})d\phi =\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}8\cos ^{2}\phi d\phi =}
=
8
∫
π
4
π
3
1
2
(
1
+
cos
(
2
ϕ
)
)
d
ϕ
=
4
ϕ
+
4
2
sin
(
2
ϕ
)
|
π
4
π
3
=
4
π
3
−
4
π
4
+
2
sin
2
π
3
−
2
sin
π
2
=
{\displaystyle =8\int _{\pi \over 4}^{\pi \over 3}{1 \over 2}(1+\cos(2\phi ))d\phi =4\phi +{4 \over 2}\sin(2\phi )|_{\pi \over 4}^{\pi \over 3}={4\pi \over 3}-{4\pi \over 4}+2\sin {2\pi \over 3}-2\sin {\pi \over 2}=}
=
π
3
+
2
3
2
−
2
=
0
,
779248358.
{\displaystyle ={\pi \over 3}+{2{\sqrt {3}} \over 2}-2=0,779248358.}
Be kita ko,
0
,
779248358
⋅
4
=
3
,
116993432.
{\displaystyle 0,779248358\cdot 4=3,116993432.}
Taip pat,
0
,
779248358
⋅
3
=
2
,
337745074.
{\displaystyle 0,779248358\cdot 3=2,337745074.}
Padauginus iš 4 gauname išpjovos plotą iš apskritimo, kurio spindulys r=4, plotas padidėja
(
R
/
r
)
2
{\displaystyle (R/r)^{2}}
(R yra didžiojo apskritimo spindulys, o r - mažojo), kai mažojo apskritimo spindulio ilgis tik padvigubėjo; jei spindulys pailgės 3 kartus, plotas padidės
3
2
=
9
{\displaystyle 3^{2}=9}
kartus, todėl išpjovos skiriasi tik didžiu.
Figūrą riboja kreivės
x
2
+
y
2
=
4
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4,}
y
=
x
,
{\displaystyle y=x,}
y
=
x
3
.
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}.}
Apskaičiuokime tos figuros plotą.
x
2
+
y
2
=
4
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4}
apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:
ρ
2
=
4
{\displaystyle \rho ^{2}=4}
,
ρ
=
r
=
2.
{\displaystyle \rho =r=2.}
Tiesė
y
=
x
{\displaystyle y=x}
su ašimi Ox sudaro kampą
π
4
,
{\displaystyle {\pi \over 4},}
o tiesė
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
- kampą
π
3
.
{\displaystyle {\pi \over 3}.}
Taigi sritį D gauname, kai
ϕ
{\displaystyle \phi }
kinta nuo
π
4
{\displaystyle {\pi \over 4}}
iki
π
3
.
{\displaystyle {\pi \over 3}.}
Žinodami, kad skritulio plotas yra
S
=
π
r
2
,
{\displaystyle S=\pi r^{2},}
suprantame, kad reikia vesti (tarkim, skriestuvu) pusė (apskritimo) ilgio, o ne
2
π
{\displaystyle 2\pi }
, todėl
S
=
1
2
(
π
3
−
π
4
)
⋅
r
2
=
1
2
⋅
π
12
⋅
2
2
=
π
6
=
0
,
523598775.
{\displaystyle S={1 \over 2}({\pi \over 3}-{\pi \over 4})\cdot r^{2}={1 \over 2}\cdot {\pi \over 12}\cdot 2^{2}={\pi \over 6}=0,523598775.}
Ir
3
,
116993432
−
0
,
523598775
=
2
,
593394656.
{\displaystyle 3,116993432-0,523598775=2,593394656.}
2.
Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais
x
2
+
y
2
=
2
y
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=2y,}
z
=
0
,
{\displaystyle z=0,}
x
+
y
+
z
=
4.
{\displaystyle x+y+z=4.}
Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas, apribotas iš viršaus paviršiumi
z
=
4
−
x
−
y
{\displaystyle z=4-x-y}
, tai turime:
V
=
∬
D
(
4
−
x
−
y
)
d
x
d
y
,
{\displaystyle V=\iint _{D}(4-x-y)dxdy,}
kur D - kūno pagrindas - apskritimas
x
2
+
(
y
−
1
)
2
≤
1
{\displaystyle x^{2}+(y-1)^{2}\leq 1}
plkštumoje XOY . Perėję į poliarines koordinates gauname:
V
=
∬
P
(
4
−
ρ
cos
ϕ
−
ρ
sin
ϕ
)
ρ
d
ρ
d
ϕ
=
{\displaystyle V=\iint _{P}(4-\rho \cos \phi -\rho \sin \phi )\rho d\rho d\phi =}
=
∫
0
π
d
ϕ
∫
0
2
sin
ϕ
(
4
−
ρ
cos
ϕ
−
ρ
sin
ϕ
)
ρ
d
ρ
=
3
π
.
{\displaystyle =\int _{0}^{\pi }d\phi \int _{0}^{2\sin \phi }(4-\rho \cos \phi -\rho \sin \phi )\rho d\rho =3\pi .}
Šio kūno tūrį galima rasti gerokai greičiau. Cilindro pjuvis tesiasi nuo
z
=
4
{\displaystyle z=4}
iki kai
z
=
2
{\displaystyle z=2}
, nes iš lygties
z
=
4
−
x
−
y
{\displaystyle z=4-x-y}
, z yra žemiausiame taške 2, kai
x
=
0
{\displaystyle x=0}
, o
y
=
2
{\displaystyle y=2}
, taigi
z
=
4
−
0
−
2
=
2
{\displaystyle z=4-0-2=2}
. Todėl iš pradžių apskaičiuosime cilindro tūrį, kai 0<z<2, kitaip tariant, kai cilindro spindulys
r
=
2
{\displaystyle r=2}
, o aukštis
h
1
=
2
{\displaystyle h_{1}=2}
:
V
1
=
h
1
π
r
2
=
2
π
⋅
1
2
=
2
π
.
{\displaystyle V_{1}=h_{1}\pi r^{2}=2\pi \cdot 1^{2}=2\pi .}
Aukščiau esančią cilindro dalį, kurios aukštis yra
h
2
=
2
{\displaystyle h_{2}=2}
, projectuojame į plokštumą zOy ir matome, kad gaunasi 2 vienodi trikampiai (vienas iš jų nepriklauso tai daliai). Taigi tiesiog aukštesnės dalies tūrį gauname padalinę cilindrą pusiau:
V
2
=
h
2
π
r
2
2
=
2
π
⋅
1
2
2
=
π
.
{\displaystyle V_{2}={h_{2}\pi r^{2} \over 2}={2\pi \cdot 1^{2} \over 2}=\pi .}
V
=
V
1
+
V
2
=
2
π
+
π
=
3
π
{\displaystyle V=V_{1}+V_{2}=2\pi +\pi =3\pi }
.
3.
Apskaičiuosime paviršiaus dalį paraboloido
x
2
+
y
2
=
z
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z,}
išpjautą cilindro
x
2
+
y
2
=
1.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}
Paviršiaus ploto formulė yra
1
+
f
x
′
2
(
x
;
y
)
+
f
y
′
2
(
x
;
y
)
.
{\displaystyle {\sqrt {1+f_{x}'^{2}(x;y)+f_{y}'^{2}(x;y)}}.}
Taip kaip
∂
z
∂
x
=
2
x
,
∂
z
∂
y
=
2
y
,
{\displaystyle {\partial z \over \partial x}=2x,\;{\partial z \over \partial y}=2y,}
tai
S
=
∬
D
1
+
4
x
2
+
4
y
2
d
x
d
y
,
{\displaystyle S=\iint _{D}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}\;dx\;dy,}
kur D - apskritimas
x
2
+
y
2
≤
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1}
plokštumoje XOY . Pereidami į poliarines koordinates gauname:
S
=
∬
P
1
+
4
ρ
2
ρ
d
ρ
d
ϕ
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
1
ρ
1
+
4
ρ
2
d
ρ
=
{\displaystyle S=\iint _{P}{\sqrt {1+4\rho ^{2}}}\rho d\rho d\phi =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}\rho {\sqrt {1+4\rho ^{2}}}d\rho =}
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
1
1
+
4
ρ
2
d
(
1
+
4
ρ
2
)
8
=
1
8
∫
0
2
π
2
3
(
1
+
4
ρ
2
)
3
2
|
0
1
d
ϕ
=
1
12
∫
0
2
π
(
5
3
2
−
1
)
d
ϕ
=
{\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}{\sqrt {1+4\rho ^{2}}}{d(1+4\rho ^{2}) \over 8}={1 \over 8}\int _{0}^{2\pi }{2 \over 3}(1+4\rho ^{2})^{3 \over 2}|_{0}^{1}d\phi ={1 \over 12}\int _{0}^{2\pi }(5^{3 \over 2}-1)d\phi =}
=
1
12
(
5
5
−
1
)
ϕ
|
0
2
π
=
π
6
(
5
5
−
1
)
,
{\displaystyle ={1 \over 12}(5{\sqrt {5}}-1)\phi |_{0}^{2\pi }={\pi \over 6}(5{\sqrt {5}}-1),}
kur
d
(
1
+
4
ρ
2
)
=
8
ρ
d
ρ
;
d
ρ
=
d
(
1
+
4
ρ
2
)
8
ρ
.
{\displaystyle d(1+4\rho ^{2})=8\rho d\rho ;\;d\rho ={d(1+4\rho ^{2}) \over 8\rho }.}
Ritinys
x
2
+
y
2
=
a
x
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=ax}
(a>0) išpjauna iš rutulio
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
a
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq a^{2}}
kūną. Apskaičiuokime jo tūrį V . Apskaičiuokime 1/4 ieškomo tūrio, nes kūnas simetriškas plokštumų xOz ir xOy atžvilgiu. Integravimo sritis D yra duotojo ritinio pagrindas. Kūną iš viršaus riboja paviršius
z
=
a
2
−
x
2
−
y
2
,
{\displaystyle z={\sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}},}
todėl
V
=
4
∬
D
a
2
−
x
2
−
y
2
d
x
d
y
.
{\displaystyle V=4\iint _{D}{\sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy.}
Šį dvilypį integralą apskaičiuosime pakeisdami kartotiniu integralu polinėje koordinačių sistemoje. Tuomet
V
=
4
∬
D
a
2
−
ρ
2
ρ
d
ρ
d
ϕ
.
{\displaystyle V=4\iint _{D}{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\rho d\rho d\phi .}
Rasime kintamųjų
ϕ
{\displaystyle \phi }
ir
ρ
{\displaystyle \rho }
kitimo rėžius. Iš apskritimo lygties
x
2
+
y
2
=
a
x
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=ax}
turime:
ρ
2
=
a
ρ
cos
ϕ
,
ρ
=
a
cos
ϕ
.
{\displaystyle \rho ^{2}=a\rho \cos \phi ,\;\rho =a\cos \phi .}
Taigi sritį D gauname, kai
ϕ
{\displaystyle \phi }
kinta nuo 0 iki
π
2
,
{\displaystyle {\pi \over 2},}
o
ρ
{\displaystyle \rho }
- nuo 0 iki
a
cos
ϕ
.
{\displaystyle a\cos \phi .}
Todėl
V
=
4
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
0
a
cos
ϕ
a
2
−
ρ
2
ρ
d
ρ
=
−
4
2
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
0
a
cos
ϕ
a
2
−
ρ
2
d
(
a
2
−
ρ
2
)
=
{\displaystyle V=4\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{a\cos \phi }{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\rho d\rho =-{4 \over 2}\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{a\cos \phi }{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}d(a^{2}-\rho ^{2})=}
=
−
4
3
∫
0
π
2
(
a
2
−
ρ
2
)
3
|
0
a
cos
ϕ
d
ϕ
=
−
4
3
a
3
∫
0
π
2
(
sin
3
−
1
)
d
ϕ
=
−
4
3
a
3
(
2
!
!
3
!
!
−
π
2
)
=
4
3
a
3
(
π
2
−
2
3
)
=
{\displaystyle =-{4 \over 3}\int _{0}^{\pi \over 2}{\sqrt {(a^{2}-\rho ^{2})^{3}}}|_{0}^{a\cos \phi }d\phi =-{4 \over 3}a^{3}\int _{0}^{\pi \over 2}(\sin ^{3}-1)d\phi =-{4 \over 3}a^{3}({2!! \over 3!!}-{\pi \over 2})={4 \over 3}a^{3}({\pi \over 2}-{2 \over 3})=}
=
2
a
3
9
(
3
π
−
4
)
,
{\displaystyle ={2a^{3} \over 9}(3\pi -4),}
kur
pasinaudojom dvigubu faktorialu trigonometrijoje .
Rasime tūrį V kūno, gauto iš rutulio išpjovus du cilindrus
x
2
+
y
2
≤
a
x
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq ax^{2}}
ir
x
2
+
y
2
≤
−
a
x
2
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq -ax^{2}.}
Dėl išpjauto kūno
V
0
{\displaystyle V_{0}}
simetriškumo jį sudaro 8 lygiatūrės dalys. Rutulio formulė:
z
2
+
x
2
+
y
2
≤
a
2
.
{\displaystyle z^{2}+x^{2}+y^{2}\leq a^{2}.}
V
0
=
8
∬
D
a
2
−
x
2
−
y
2
d
x
d
y
=
8
∬
D
a
2
−
ρ
2
ρ
d
ρ
d
ϕ
=
8
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
0
a
cos
ϕ
ρ
a
2
−
ρ
2
d
ρ
=
{\displaystyle V_{0}=8\iint _{D}{\sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy=8\iint _{D}{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\rho d\rho d\phi =8\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{a\cos \phi }\rho {\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}d\rho =}
=
−
4
∫
0
π
2
d
ϕ
∫
0
a
cos
ϕ
a
2
−
ρ
2
d
(
a
2
−
ρ
2
)
=
8
3
a
3
∫
0
π
2
(
1
−
sin
3
ϕ
)
d
ϕ
=
8
3
(
π
2
−
2
!
!
3
!
!
)
a
3
=
4
a
3
9
(
3
π
−
4
)
.
{\displaystyle =-4\int _{0}^{\pi \over 2}d\phi \int _{0}^{a\cos \phi }{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}d(a^{2}-\rho ^{2})={8 \over 3}a^{3}\int _{0}^{\pi \over 2}(1-\sin ^{3}\phi )d\phi ={8 \over 3}({\pi \over 2}-{2!! \over 3!!})a^{3}={4a^{3} \over 9}(3\pi -4).}
Kadangi kūno V tūris yra lygus rutulio ir išpjautojo kūno
V
0
{\displaystyle V_{0}}
tūrių skirtumui, tai
|
V
|
=
4
3
π
a
3
−
|
V
0
|
=
4
π
a
3
3
−
4
a
3
(
3
π
−
4
)
9
=
12
π
a
3
−
12
a
3
π
−
16
a
3
9
=
|
−
16
a
3
9
|
=
16
a
3
9
.
{\displaystyle |V|={4 \over 3}\pi a^{3}-|V_{0}|={4\pi a^{3} \over 3}-{4a^{3}(3\pi -4) \over 9}={12\pi a^{3}-12a^{3}\pi -16a^{3} \over 9}=|-{16a^{3} \over 9}|={16a^{3} \over 9}.}
Paviršiaus ploto apskaičiavimas
Tarkime, kad srityje D paviršių nusako lygtis z=z(x, y), funkcijos išvestinės
z
x
′
{\displaystyle z_{x}'}
ir
z
y
′
{\displaystyle z_{y}'}
yra tolydžios srityje D . Paviršiaus dalies, kurios projekcija plokštumoje xOy yra sritis D , plotas apskaičiuojamas pagal formulę
S
=
∬
D
1
+
(
z
x
′
)
2
+
(
z
y
′
)
2
d
x
d
y
=
∬
D
1
+
(
∂
z
∂
x
)
2
+
(
∂
z
∂
y
)
2
d
x
d
y
.
{\displaystyle S=\iint _{D}{\sqrt {1+(z_{x}')^{2}+(z_{y}')^{2}}}dxdy=\iint _{D}{\sqrt {1+({\partial z \over \partial x})^{2}+({\partial z \over \partial y})^{2}}}dxdy.}
Pavyzdžiai
1.
Apskaičiuosime integralą
∬
S
z
d
S
{\displaystyle \iint _{S}zdS}
dalyje piltuvėlio paviršiaus
z
=
x
2
+
y
2
,
1
≤
z
≤
2.
{\displaystyle z={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\;1\leq z\leq 2.}
Paviršius S projektuojasi į plokštumą XOY srityje D , kuri yra žiedas
1
≤
x
2
+
y
2
≤
4.
{\displaystyle 1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4.}
Šitame žiede funkcijos
z
=
x
2
+
y
2
,
z
x
′
=
x
x
2
+
y
2
,
z
y
′
=
y
x
2
+
y
2
{\displaystyle z={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\;z_{x}'={x \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\;z_{y}'={y \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}
- netrūkios. Todėl
∬
S
z
d
S
=
∬
D
x
2
+
y
2
1
+
x
2
x
2
+
y
2
+
y
2
x
2
+
y
2
d
x
d
y
=
{\displaystyle \iint _{S}zdS=\iint _{D}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {1+{x^{2} \over x^{2}+y^{2}}+{y^{2} \over x^{2}+y^{2}}}}dxdy=}
=
∬
D
x
2
+
y
2
2
d
x
d
y
=
2
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
1
2
ρ
2
d
ρ
=
2
∫
0
2
π
ρ
3
3
|
1
2
d
ϕ
=
2
∫
0
2
π
7
3
d
ϕ
=
14
2
π
3
.
{\displaystyle =\iint _{D}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {2}}dxdy={\sqrt {2}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{1}^{2}\rho ^{2}d\rho ={\sqrt {2}}\int _{0}^{2\pi }{\rho ^{3} \over 3}|_{1}^{2}d\phi ={\sqrt {2}}\int _{0}^{2\pi }{7 \over 3}d\phi ={14{\sqrt {2}}\pi \over 3}.}
2.
Rasime plotą dalies kanoninio paviršiaus
z
=
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle z={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
i6kerpamo plokštumomis
x
=
0
,
{\displaystyle x=0,}
y
=
0
,
{\displaystyle y=0,}
x
+
y
=
1
,
{\displaystyle x+y=1,}
x
+
y
=
2
{\displaystyle x+y=2}
ir gulinčios pirmame oktante. Taip kaip funkcija
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
ir srtitis D , esanti projekcija šios dalies į plokšumą XOY , tenkina tolydumo sąlyga, apskaičiuojame paviršių pagal formulę. Be to
f
x
′
(
x
,
y
)
=
x
x
2
+
y
2
,
f
y
′
(
x
,
y
)
=
y
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle f_{x}'(x,y)={x \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\;f_{y}'(x,y)={y \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},}
1
+
f
x
′
2
(
x
,
y
)
+
f
y
′
2
(
x
,
y
)
=
2
,
{\displaystyle {\sqrt {1+f_{x}'^{2}(x,y)+f_{y}'^{2}(x,y)}}={\sqrt {2}},}
t. y.
S
=
∬
D
2
d
D
=
2
∬
D
d
D
=
2
D
=
3
2
2
.
{\displaystyle S=\iint _{D}{\sqrt {2}}dD={\sqrt {2}}\iint _{D}dD={\sqrt {2}}D={3 \over 2}{\sqrt {2}}.}
Sritį D randame kaip trikampių skirtumą:
S
Δ
1
=
2
2
2
=
∫
0
2
(
2
−
x
)
d
x
=
2
;
S
Δ
2
=
1
2
2
=
∫
0
1
(
1
−
x
)
d
x
=
1
2
;
D
=
S
Δ
1
−
S
Δ
2
=
2
−
1
2
=
3
2
.
{\displaystyle S_{\Delta 1}={2^{2} \over 2}=\int _{0}^{2}(2-x)dx=2;\;S_{\Delta 2}={1^{2} \over 2}=\int _{0}^{1}(1-x)dx={1 \over 2};\;D=S_{\Delta 1}-S_{\Delta 2}=2-{\frac {1}{2}}={3 \over 2}.}
Paraboliniai cilindrai
y
=
x
,
y
=
2
x
{\displaystyle y={\sqrt {x}},\;y=2{\sqrt {x}}}
bei plokštuma
z
=
0
{\displaystyle z=0}
išpjauna iš plokštumos
x
+
z
=
4
{\displaystyle x+z=4}
kreivinį trikampį. Apskaičiuokime jo plotą.
Plokštumos lygtį parašykime taip:
z
=
4
−
x
.
{\displaystyle z=4-x.}
Kreivinį trikampį projektuokime į plokštumą xOy. Randame:
z
x
′
=
−
1
,
z
y
′
=
0
,
1
+
z
x
′
2
+
z
y
′
2
=
2
.
{\displaystyle z_{x}'=-1,\;z_{y}'=0,\;{\sqrt {1+z_{x}'^{2}+z_{y}'^{2}}}={\sqrt {2}}.}
Tuomet
S
=
∬
D
2
d
x
d
y
=
2
∫
0
4
d
x
∫
x
2
x
d
y
=
2
∫
0
4
(
2
x
−
x
)
d
x
=
2
⋅
2
3
x
3
2
|
0
4
=
2
2
3
8
=
16
2
3
.
{\displaystyle S=\iint _{D}{\sqrt {2}}dxdy={\sqrt {2}}\int _{0}^{4}dx\int _{\sqrt {x}}^{2{\sqrt {x}}}dy={\sqrt {2}}\int _{0}^{4}(2{\sqrt {x}}-{\sqrt {x}})dx={\sqrt {2}}\cdot {2 \over 3}x^{3 \over 2}|_{0}^{4}={2{\sqrt {2}} \over 3}8={16{\sqrt {2}} \over 3}.}
Raskime plotą tos ritinio
x
2
+
y
2
=
a
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}
paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys
y
2
+
z
2
=
a
2
.
{\displaystyle y^{2}+z^{2}=a^{2}.}
Iš paviršiaus lygties
x
2
+
y
2
=
a
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}
išplaukia, kad
x
=
a
2
+
y
2
.
{\displaystyle x={\sqrt {a^{2}+y^{2}}}.}
Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOz .
Vadinasi:
x
y
′
=
−
y
a
2
−
y
2
,
{\displaystyle x_{y}'=-{y \over {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}},}
x
z
′
=
0
,
{\displaystyle x_{z}'=0,}
1
+
x
y
′
2
+
x
z
′
2
=
a
a
2
−
y
2
.
{\displaystyle {\sqrt {1+x_{y}'^{2}+x_{z}'^{2}}}={a \over {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}.}
Tuomet
S
=
8
∬
D
a
a
2
−
y
2
d
y
d
z
;
{\displaystyle S=8\iint _{D}{a \over {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}dydz;}
čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo
y
2
+
z
2
=
a
2
.
{\displaystyle y^{2}+z^{2}=a^{2}.}
Taigi
S
=
8
a
∫
0
a
d
y
a
2
−
y
2
∫
0
a
2
−
y
2
d
z
=
8
a
∫
0
a
d
y
=
8
a
2
.
{\displaystyle S=8a\int _{0}^{a}{dy \over {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}\int _{0}^{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}dz=8a\int _{0}^{a}dy=8a^{2}.}
3.
Apskaičiuosime plotą tos dalies plokštumos
6
x
+
3
y
+
2
z
=
12
,
{\displaystyle 6x+3y+2z=12,}
kuri yra pirmame oktante.
Taip kaip funkcija
z
=
6
−
3
x
−
(
3
/
2
)
y
{\displaystyle z=6-3x-(3/2)y}
ir sritis D , esanti projekcija šios dalies paviršiaus į plokštumą Oxy , tenkina suformuluotas auksčiau salygas, tai ieškomą plotą galima apskaičiuoti pagal formule. Turime
f
x
′
(
x
,
y
)
=
−
3
,
{\displaystyle f_{x}'(x,y)=-3,}
f
y
′
(
x
,
y
)
=
−
3
/
2
;
{\displaystyle f_{y}'(x,y)=-3/2;}
1
+
f
x
′
2
(
x
,
y
)
+
f
y
′
2
(
x
,
y
)
=
1
+
9
+
9
/
4
=
7
/
2.
{\displaystyle {\sqrt {1+f_{x}'^{2}(x,y)+f_{y}'^{2}(x,y)}}={\sqrt {1+9+9/4}}=7/2.}
Sritis D yra trikampis, apribotas ašimis Ox , Oy ir tiese 6x+3y=12, gaunamos iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname
s
=
∫
0
2
d
x
∫
0
4
−
2
x
7
2
d
y
=
7
2
∫
0
2
y
|
0
4
−
2
x
d
x
=
7
2
∫
0
2
(
4
−
2
x
)
d
x
=
{\displaystyle s=\int _{0}^{2}dx\int _{0}^{4-2x}{7 \over 2}dy={7 \over 2}\int _{0}^{2}y|_{0}^{4-2x}dx={7 \over 2}\int _{0}^{2}(4-2x)dx=}
=
7
2
(
4
x
−
x
2
)
|
0
2
=
7
2
⋅
4
=
14.
{\displaystyle ={7 \over 2}(4x-x^{2})|_{0}^{2}={7 \over 2}\cdot 4=14.}
Dvilypio integralo taikymas mechanikoje
Plokščios figūros masė
Dvilypiu integralu masė apskaičiuojama pagal formulę:
m
=
∬
D
γ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle m=\iint _{D}\gamma (x,y)dxdy.}
Pavyzdžiai
Skritulinės plokštelės spindulys R , o jos plokštuminis tankis tiesiog proporcingas atstumo nuo taško iki plokštelės centro kvadratui. Plokštelės kontūro taškuose tankis lygus a . Apskaičiuokime tos plokštelės masę. Pagal sąlyga, tankis taške (x; y) lygus atstumo nuo to taško iki taško (0; 0) kvadratui:
γ
(
x
,
y
)
=
k
(
x
2
+
y
2
)
;
{\displaystyle \gamma (x,y)=k(x^{2}+y^{2});}
be to, kai taškas (x; y) priklauso apskritimui
x
2
+
y
2
=
R
2
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2},}
tai
γ
(
x
,
y
)
=
a
.
{\displaystyle \gamma (x,y)=a.}
a
=
k
R
2
.
{\displaystyle a=kR^{2}.}
Iš čia proporcingumo koeficientas
k
=
a
R
2
.
{\displaystyle k={a \over R^{2}}.}
Vadinasi,
γ
(
x
,
y
)
=
a
R
2
(
x
2
+
y
2
)
.
{\displaystyle \gamma (x,y)={a \over R^{2}}(x^{2}+y^{2}).}
Tuomet
m
=
a
R
2
∬
D
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle m={a \over R^{2}}\iint _{D}(x^{2}+y^{2})dxdy.}
Šį integralą apskaičiuosime pakeisdami jį kartotiniu integralu, užrašytu polinėje koordinačių sistemoje. Taigi
m
=
a
R
2
∬
D
ρ
3
d
ρ
d
ϕ
=
a
R
2
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
R
ρ
3
d
ρ
=
a
R
2
∫
0
2
π
R
4
4
d
ϕ
=
a
R
2
4
ϕ
|
0
2
π
=
1
2
π
a
R
2
.
{\displaystyle m={a \over R^{2}}\iint _{D}\rho ^{3}d\rho d\phi ={a \over R^{2}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}\rho ^{3}d\rho ={a \over R^{2}}\int _{0}^{2\pi }{R^{4} \over 4}d\phi ={aR^{2} \over 4}\phi |_{0}^{2\pi }={1 \over 2}\pi aR^{2}.}
kvadratinė plokštelė
Rasime kvadratinės plokštelės masę su kraštine 2a , jeigu tankis
γ
(
x
;
y
)
{\displaystyle \gamma (x;y)}
kiekviename taške
M
(
x
;
y
)
{\displaystyle M(x;y)}
proporcionali atstumo kvadratui nuo taško M iki įžambinių susikirtimo (iki centro), ir proporcingumo koeficientas lygus k . Parinksime koordinačių sistemą kaip parodyta paveiksliuke. Po šito galima rasti funkciją
γ
(
x
;
y
)
{\displaystyle \gamma (x;y)}
iš užduoties salygos. Tegu M(x; y) - bet kuris laisvai pasirenkamas taškas kvadratinės plokštelės. Tada atstumo kvadratas nuo taško M iki taško suskirtimo įstrižainių lygus
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}.}
Todėl, tankis taške M :
γ
(
M
)
=
γ
(
x
;
y
)
=
k
(
x
2
+
y
2
)
.
{\displaystyle \gamma (M)=\gamma (x;y)=k(x^{2}+y^{2}).}
Pagal formulę turime
m
=
∬
D
k
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle m=\iint _{D}k(x^{2}+y^{2})dxdy.}
Žinant, kad pointegralinė funkcija lyginė atžvilgiu x ir y , o integravimo sritis simteriška koordinačių ašių atžvilgiu, galima apsiriboti apskaičiavimu integralo toje dalyje srities D , kuri yra I ketvirtyje, t. y.
m
=
4
k
∫
0
a
d
x
∫
0
a
(
x
2
+
y
2
)
d
y
=
4
k
∫
0
a
(
x
2
y
+
y
3
3
)
|
0
a
d
x
=
{\displaystyle m=4k\int _{0}^{a}dx\int _{0}^{a}(x^{2}+y^{2})dy=4k\int _{0}^{a}(x^{2}y+{y^{3} \over 3})|_{0}^{a}dx=}
=
4
k
∫
0
a
(
a
x
2
+
a
3
3
)
d
x
=
4
k
(
a
x
3
3
+
a
3
x
3
)
|
0
a
=
4
k
2
a
4
3
=
8
3
k
a
4
.
{\displaystyle =4k\int _{0}^{a}(ax^{2}+{a^{3} \over 3})dx=4k({ax^{3} \over 3}+{a^{3}x \over 3})|_{0}^{a}=4k{2a^{4} \over 3}={8 \over 3}ka^{4}.}
1.
Plokščios figūros statiniai momentai ir masės centro koordinatės
Masės centro koordinatės randamos pagal formules:
x
c
=
∬
D
x
γ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
∬
D
γ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
,
y
c
=
∬
D
y
γ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
∬
D
γ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle x_{c}={\iint _{D}x\gamma (x,y)dxdy \over \iint _{D}\gamma (x,y)dxdy},\;y_{c}={\iint _{D}y\gamma (x,y)dxdy \over \iint _{D}\gamma (x,y)dxdy}.}
Pavyzdžiai
Homogeninę plokštelę
(
γ
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
)
{\displaystyle (\gamma (x,y)=const)}
riboja kreivės
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
ir
y
−
x
=
2.
{\displaystyle y-x=2.}
Apskaičiuokime tos plokštelės masės centro koordinates.
Kai
γ
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
,
{\displaystyle \gamma (x,y)=const,}
tai formulės supaprastėja:
x
c
=
∬
D
x
d
x
d
y
∬
D
d
x
d
y
,
y
c
=
∬
D
y
d
x
d
y
∬
D
d
x
d
y
.
{\displaystyle x_{c}={\iint _{D}xdxdy \over \iint _{D}dxdy},\;y_{c}={\iint _{D}ydxdy \over \iint _{D}dxdy}.}
Apskaičiuojame:
∬
D
d
x
d
y
=
∫
−
1
2
d
x
∫
x
2
2
+
x
d
y
=
∫
−
1
2
(
2
+
x
−
x
2
)
d
x
=
(
2
x
+
x
2
2
−
x
3
3
)
|
−
1
2
=
9
2
;
{\displaystyle \iint _{D}dxdy=\int _{-1}^{2}dx\int _{x^{2}}^{2+x}dy=\int _{-1}^{2}(2+x-x^{2})dx=(2x+{x^{2} \over 2}-{x^{3} \over 3})|_{-1}^{2}={9 \over 2};}
∬
D
x
d
x
d
y
=
∫
−
1
2
x
d
x
∫
x
2
2
+
x
d
y
=
∫
−
1
2
(
2
x
+
x
2
−
x
3
)
d
x
=
(
x
2
+
x
3
3
−
x
4
4
)
|
−
1
2
==
9
4
;
{\displaystyle \iint _{D}xdxdy=\int _{-1}^{2}xdx\int _{x^{2}}^{2+x}dy=\int _{-1}^{2}(2x+x^{2}-x^{3})dx=(x^{2}+{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4})|_{-1}^{2}=={9 \over 4};}
∬
D
y
d
x
d
y
=
∫
−
1
2
d
x
∫
x
2
2
+
x
y
d
y
=
1
2
∫
−
1
2
(
4
+
4
x
+
x
2
−
x
4
)
d
x
=
1
2
(
4
x
+
2
x
2
+
x
3
3
−
x
5
5
)
|
−
1
2
=
36
5
.
{\displaystyle \iint _{D}ydxdy=\int _{-1}^{2}dx\int _{x^{2}}^{2+x}ydy={1 \over 2}\int _{-1}^{2}(4+4x+x^{2}-x^{4})dx={1 \over 2}(4x+2x^{2}+{x^{3} \over 3}-{x^{5} \over 5})|_{-1}^{2}={36 \over 5}.}
Vadinasi
x
c
=
9
4
9
2
=
9
4
⋅
2
9
=
1
2
,
y
c
=
36
5
:
9
2
=
36
5
⋅
2
9
=
8
5
.
{\displaystyle x_{c}={{9 \over 4} \over {9 \over 2}}={9 \over 4}\cdot {2 \over 9}={1 \over 2},\;y_{c}={36 \over 5}:{9 \over 2}={36 \over 5}\cdot {2 \over 9}={8 \over 5}.}
Homogeninę plokštelę
(
γ
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
)
{\displaystyle (\gamma (x,y)=const)}
riboja tiesės
y
=
x
{\displaystyle y=x}
ir
y
=
2
x
{\displaystyle y=2x}
ir iš dešinės tiesė
x
=
2
{\displaystyle x=2}
lygiagreti Oy ašiai. Apskaičiuokime tos plokštelės masės centro koordinates.
Kai
γ
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
,
{\displaystyle \gamma (x,y)=const,}
tai formulės supaprastėja:
x
c
=
∬
D
x
d
x
d
y
∬
D
d
x
d
y
,
y
c
=
∬
D
y
d
x
d
y
∬
D
d
x
d
y
.
{\displaystyle x_{c}={\iint _{D}xdxdy \over \iint _{D}dxdy},\;y_{c}={\iint _{D}ydxdy \over \iint _{D}dxdy}.}
Apskaičiuojame:
∬
D
d
x
d
y
=
∫
0
2
d
x
∫
x
2
x
d
y
=
∫
0
2
(
2
x
−
x
)
d
x
=
x
2
2
|
0
2
=
2
;
{\displaystyle \iint _{D}dxdy=\int _{0}^{2}dx\int _{x}^{2x}dy=\int _{0}^{2}(2x-x)dx={x^{2} \over 2}|_{0}^{2}=2;}
∬
D
x
d
x
d
y
=
∫
0
2
x
d
x
∫
x
2
x
d
y
=
∫
0
2
x
(
2
x
−
x
)
d
x
=
x
3
3
|
0
2
=
8
3
;
{\displaystyle \iint _{D}xdxdy=\int _{0}^{2}xdx\int _{x}^{2x}dy=\int _{0}^{2}x(2x-x)dx={x^{3} \over 3}|_{0}^{2}={8 \over 3};}
∬
D
y
d
x
d
y
=
∫
0
2
d
x
∫
x
2
x
y
d
y
=
∫
0
2
(
2
x
)
2
−
x
2
2
d
x
=
∫
0
2
3
x
2
2
d
x
=
3
2
x
3
3
|
0
2
=
2
3
2
−
0
3
2
=
4.
{\displaystyle \iint _{D}ydxdy=\int _{0}^{2}dx\int _{x}^{2x}ydy=\int _{0}^{2}{(2x)^{2}-x^{2} \over 2}dx=\int _{0}^{2}{3x^{2} \over 2}dx={3 \over 2}{x^{3} \over 3}|_{0}^{2}={2^{3} \over 2}-{0^{3} \over 2}=4.}
Vadinasi
x
c
=
8
3
2
=
4
3
=
1
,
(
3
)
;
y
c
=
4
2
=
2.
{\displaystyle x_{c}={{8 \over 3} \over 2}={4 \over 3}=1,(3);\;y_{c}={4 \over 2}=2.}
plokštelė.
Rasime centro koordinates homogeninės plokštelės, apribotos dvejomis parabolėmis
y
2
=
x
{\displaystyle y^{2}=x}
ir
x
2
=
y
.
{\displaystyle x^{2}=y.}
Iš pradžių apskaičiuosime plokštelės masę
m
=
∬
D
d
x
d
y
=
∫
0
1
d
x
∫
x
2
x
d
y
=
∫
0
1
(
x
0.5
−
x
2
)
d
x
=
(
2
3
x
x
−
x
3
3
)
|
0
1
=
{\displaystyle m=\iint _{D}dxdy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{\sqrt {x}}dy=\int _{0}^{1}(x^{0.5}-x^{2})dx=({2 \over 3}x{\sqrt {x}}-{x^{3} \over 3})|_{0}^{1}=}
=
2
3
−
1
3
=
1
3
.
{\displaystyle ={2 \over 3}-{1 \over 3}={1 \over 3}.}
Toliau apskaičiuosime statinius momemntus jos kordinačių ašių atžvilgiu:
M
y
=
∬
D
x
d
x
d
y
=
∫
0
1
x
d
x
∫
x
2
x
d
y
=
∫
0
1
(
x
1.5
−
x
3
)
d
x
=
{\displaystyle M_{y}=\iint _{D}xdxdy=\int _{0}^{1}xdx\int _{x^{2}}^{\sqrt {x}}dy=\int _{0}^{1}(x^{1.5}-x^{3})dx=}
=
(
2
5
x
2
x
−
x
4
4
)
|
0
1
=
2
5
−
1
4
=
3
20
;
{\displaystyle =({2 \over 5}x^{2}{\sqrt {x}}-{x^{4} \over 4})|_{0}^{1}={2 \over 5}-{1 \over 4}={3 \over 20};}
M
x
=
∬
D
y
d
x
d
y
=
∫
0
1
d
x
∫
x
2
x
y
d
y
=
1
2
∫
0
1
(
x
−
x
4
)
d
x
=
1
2
(
x
2
2
−
x
5
5
)
|
0
1
=
1
2
(
1
2
−
1
5
)
=
3
20
.
{\displaystyle M_{x}=\iint _{D}ydxdy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{\sqrt {x}}y\;dy={1 \over 2}\int _{0}^{1}(x-x^{4})dx={1 \over 2}({x^{2} \over 2}-{x^{5} \over 5})|_{0}^{1}={1 \over 2}({1 \over 2}-{1 \over 5})={3 \over 20}.}
x
c
=
M
y
m
=
3
20
:
1
3
=
9
20
;
x
c
=
M
x
m
=
3
20
:
1
3
=
9
20
.
{\displaystyle x_{c}={M_{y} \over m}={3 \over 20}:{1 \over 3}={9 \over 20};\;x_{c}={M_{x} \over m}={3 \over 20}:{1 \over 3}={9 \over 20}.}
Plokščios figuros inercijos momentai
Inercijos momentai ašių Ox , Oy ir koordinačių pradžios atžvilgiu lygūs
I
x
=
∬
D
y
2
γ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
,
I
y
=
∬
D
x
2
γ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
,
I
0
=
∬
D
(
x
2
+
y
2
)
γ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle I_{x}=\iint _{D}y^{2}\gamma (x,y)dxdy,\;I_{y}=\iint _{D}x^{2}\gamma (x,y)dxdy,\;I_{0}=\iint _{D}(x^{2}+y^{2})\gamma (x,y)dxdy.}
Pavyzdžiai
2.
Homogeninę figūrą
(
γ
(
x
,
y
)
=
1
)
{\displaystyle (\gamma (x,y)=1)}
riboja kardioidė
ρ
=
a
(
1
+
cos
ϕ
)
.
{\displaystyle \rho =a(1+\cos \phi ).}
Apskaičiuokime tos figūros inercijos momentus ašių Ox , Oy ir poliaus O atžvilgiu. Kai
γ
(
x
,
y
)
=
1
,
{\displaystyle \gamma (x,y)=1,}
tai formulės virsta tokiomis:
I
x
=
∬
D
y
2
d
x
d
y
,
I
y
=
∬
D
x
2
d
x
d
y
,
I
0
=
∬
D
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle I_{x}=\iint _{D}y^{2}dxdy,\;I_{y}=\iint _{D}x^{2}dxdy,\;I_{0}=\iint _{D}(x^{2}+y^{2})dxdy.}
Šiuos integralus apskaičiuosime išreikšdami juos polinėmis koordinatėmis. Pirmiausia imame
I
x
{\displaystyle I_{x}}
ir
I
0
,
{\displaystyle I_{0},}
o dydį
I
y
{\displaystyle I_{y}}
apskaičiuosime kaip jų skirtumą
I
y
=
I
0
−
I
x
.
{\displaystyle I_{y}=I_{0}-I_{x}.}
Turime:
I
x
=
∬
D
ρ
sin
2
ϕ
ρ
d
ρ
d
ϕ
=
∬
ρ
3
sin
2
ϕ
d
ρ
d
ϕ
.
I
0
=
∬
D
=
ρ
3
d
ρ
d
ϕ
.
{\displaystyle I_{x}=\iint _{D}\rho \sin ^{2}\phi \rho d\rho d\phi =\iint \rho ^{3}\sin ^{2}\phi d\rho d\phi .\;I_{0}=\iint _{D}=\rho ^{3}d\rho d\phi .}
Pakeisdami šiuos dvilypius integralus kartotiniais, apsiribosime 1/2 srities D dalimi. Taigi
I
x
=
2
∫
0
π
sin
2
ϕ
d
ϕ
∫
0
a
(
1
+
cos
ϕ
)
ρ
3
d
ρ
=
a
4
2
∫
0
π
sin
2
ϕ
(
1
+
cos
ϕ
)
4
d
ϕ
=
{\displaystyle I_{x}=2\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\phi d\phi \int _{0}^{a(1+\cos \phi )}\rho ^{3}d\rho ={a^{4} \over 2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\phi (1+\cos \phi )^{4}d\phi =}
=
a
4
2
∫
0
π
(
2
sin
ϕ
2
cos
ϕ
2
)
2
(
2
cos
2
ϕ
2
)
4
d
ϕ
=
32
a
4
∫
0
π
sin
2
ϕ
2
cos
10
ϕ
2
d
ϕ
.
{\displaystyle ={a^{4} \over 2}\int _{0}^{\pi }(2\sin {\phi \over 2}\cos {\phi \over 2})^{2}(2\cos ^{2}{\phi \over 2})^{4}d\phi =32a^{4}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}{\phi \over 2}\cos ^{10}{\phi \over 2}d\phi .}
Pakeitę kintamąjį pagal formulę
t
=
ϕ
2
,
{\displaystyle t={\phi \over 2},}
d
ϕ
=
2
d
t
,
{\displaystyle d\phi =2dt,}
gauname
I
x
=
64
a
4
∫
0
π
2
sin
2
t
cos
10
t
d
t
=
64
a
4
∫
0
π
2
(
cos
10
t
−
cos
12
t
)
d
t
=
64
a
4
(
9
!
!
10
!
!
−
11
!
!
12
!
!
)
⋅
π
2
=
21
32
π
a
4
;
{\displaystyle I_{x}=64a^{4}\int _{0}^{\pi \over 2}\sin ^{2}t\cos ^{10}t\;dt=64a^{4}\int _{0}^{\pi \over 2}(\cos ^{10}t-\cos ^{12}t)dt=64a^{4}({9!! \over 10!!}-{11!! \over 12!!})\cdot {\pi \over 2}={21 \over 32}\pi a^{4};}
I
0
=
2
∫
0
π
d
ϕ
∫
0
a
(
1
+
cos
ϕ
)
ρ
3
d
ρ
=
a
4
2
∫
0
π
(
1
+
cos
ϕ
)
4
d
ϕ
=
8
a
4
∫
0
π
cos
8
ϕ
2
d
ϕ
=
16
a
4
∫
0
π
2
cos
8
t
d
t
=
{\displaystyle I_{0}=2\int _{0}^{\pi }d\phi \int _{0}{a(1+\cos \phi )}\rho ^{3}d\rho ={a^{4} \over 2}\int _{0}^{\pi }(1+\cos \phi )^{4}d\phi =8a^{4}\int _{0}^{\pi }\cos ^{8}{\phi \over 2}d\phi =16a^{4}\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{8}t\;dt=}
=
16
a
4
⋅
7
!
!
8
!
!
⋅
π
2
=
35
16
π
a
4
.
{\displaystyle =16a^{4}\cdot {7!! \over 8!!}\cdot {\pi \over 2}={35 \over 16}\pi a^{4}.}
Tuomet
I
y
=
I
0
−
I
x
=
35
16
π
a
4
−
21
32
π
a
4
=
49
32
π
a
4
.
{\displaystyle I_{y}=I_{0}-I_{x}={35 \over 16}\pi a^{4}-{21 \over 32}\pi a^{4}={49 \over 32}\pi a^{4}.}
Rasime inercijos momentą skritulio su spinduliu R su vienodu tankiu
γ
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle \gamma (x,y)=1}
koordinačių pradžios atžvilgiu.
I
0
=
∬
D
(
x
2
+
y
2
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle I_{0}=\iint _{D}(x^{2}+y^{2})dxdy.}
Pereiname į poliarines koordinates. Lygtis apskritimo (skritulio kraštai) poliarinėse koordinatėse atrodo taip
ρ
=
R
.
{\displaystyle \rho =R.}
Todėl
I
0
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
R
ρ
2
ρ
d
ρ
=
∫
0
2
π
ρ
4
4
|
0
R
d
ϕ
=
1
4
R
4
ϕ
|
0
2
π
=
π
R
4
2
.
{\displaystyle I_{0}=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\rho \;d\rho =\int _{0}^{2\pi }{\rho ^{4} \over 4}|_{0}^{R}d\phi ={1 \over 4}R^{4}\phi |_{0}^{2\pi }={\pi R^{4} \over 2}.}