Matematika/Dvilypiai integralai: Skirtumas tarp puslapio versijų

Iš Wikibooks.
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Snooker (aptarimas | indėlis)
Naujas puslapis: '''Dvilypiai integralai''' skirti pagreitinti integralų (tūrio, ploto ir kt.) skaičiavimą, kad, užuot dalinus į kelias dalis ir integruojant kiekvieną d...
 
Matasg (aptarimas | indėlis)
313 eilutė: 313 eilutė:
Tuomet
Tuomet
<math>I_y=I_0-I_x={35\over 16}\pi a^4-{21\over 32}\pi a^4={49\over 32}\pi a^4.</math>
<math>I_y=I_0-I_x={35\over 16}\pi a^4-{21\over 32}\pi a^4={49\over 32}\pi a^4.</math>
[[Category:Matematika]]

* Rasime inercijos momentą skritulio su spinduliu ''R'' su vienodu tankiu <math>\gamma(x, y)=1</math> koordinačių pradžios atžvilgiu.
* Rasime inercijos momentą skritulio su spinduliu ''R'' su vienodu tankiu <math>\gamma(x, y)=1</math> koordinačių pradžios atžvilgiu.
<math>I_0=\iint_D(x^2+y^2)dxdy.</math>
<math>I_0=\iint_D(x^2+y^2)dxdy.</math>

13:46, 14 balandžio 2010 versija

Dvilypiai integralai skirti pagreitinti integralų (tūrio, ploto ir kt.) skaičiavimą, kad, užuot dalinus į kelias dalis ir integruojant kiekvieną dalį atskirai, būtų galimą greičiau suintegruoti.

Dvylipis integralas Dekarto koordinatėse

Dvilypio integralo skaičiavimo pavyzdžiai.

1.
  • Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu, kai sritį D riboja ašis Oy, parabolė ir tiesė Pirmiausia randame kreivių ir susikirtimo tašką A. Tuo tikslu išsprendžiame lygčių sistemą
{
{

iš kurios randame: x=1; y=1. Sritį D Gausime, kai x kis nuo 0 iki 1, o y - nuo apatinės kreivės iki viršutinės Todėl

Kad gauti D srities plotą reikia skaičiuoti šitaip: Šį plotą galima gauti ir suskaičiavus atskirai trikampio plotą ir po parabolę nuo 0 iki .

Tą patį plotą galima gauti dvilypį integralą skaičiuojant šitaip:

  • Apskaičiuosime srities D plotą, kurį apriboja parabolė ir parabolė kai x kinta nuo 0 iki 1.

2.

Tą patį atsakymą galima gauti iš pradžių apskaičiavus plotą po parabole ir paskui atėmus iš ploto po parabole Plotas po parabole apskaičiuojamas taip:

Plotas po parabole yra:

Atėmus plotą po parabole iš ploto po parabole gauname ieškomą plotą:

  • Apskaičiuosime integralą srityje D, apribota linija Iš kairės pusės gaunasi trikampis, kurio krašinė a lygiagreti x ašiai ir lygi 1, o kita krašinėb sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, o trikampio įžambinė lygi . Iš dešinės pusės viena krašinė lygiagreti x ašiai ir lygi 1 (nes ), o kita krašinė sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, šoną riboja parabolė.
3.

Šios dvimatės figuros plotą taip pat galima apskaičiuoti šitaip:

4.
  • Apskaičiuosime ploksčios figuros plotą D apribotą Sritis D apribota iš kairės parabole iš kairės - atkrapa Išsprendę sistemą, randame parabolės ir tiesės susikirtimo taškus

Galima šį dvilypį integralą integruot ir sukeitus funkcijas vietomis, bet reiketų tada dalinti į dvi dalis. Šio uždavinio reikalaujamą plotą galima surasti ir paprastu būdu:

  • Rasime tūrį kūno V, apriboto paviršiais Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas su pagrindu D, apribotas iš viršaus paraboloidu tai turime:

  • Rasime tūrį kūno V, išpjauto iš begalines prizmės (stačiakampio gretasienio, kurio plotis ir aukštis , o ilgis begalinis ) ribomis ir paraboloidais (iš viršaus ir apčios atitinkamai) Tūrį kūno V randame kaip sumą tūrių ir jo dalių, gulinčių atitinkamai virš ir po plokštuma XOY. Tokiu budu

  • Kūną riboja koordinačių plokštumos cilindrinis paviršius ir plokštuma Apskaičiuokime to kūno tūrį. Integravimo sritis D yra projekcija plok6tumoje xOy. Žinome, kad kūno tūris

5.
  • Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais ir Turime kur D - trikampė integravimo sritis, apribota tiesėmis Išdestydami integravimo ribas šiame integrale, gauname

6.
  • Kūną riboja tiesės atkarpa ir parabolės lankas. Raname funkcijų susikirtimo taškus per diskriminantą.
Randame plotą apribotą šių funkcijų:

Šį plotą galimą buvo lengvai apskaičiuoti be dvilypio integralo:

Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje

Polinėje koordinačių sistemoje

Pavyzdžiai

  • Kūną riboja plokštuma xOy, cilindrinis paviršius ir paraboloidas Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kai D yra skritulio dalis, esanti I ketvirtyje, tai Tuomet

Kadangi ketvirčiai yra keturi, Nepolinėje koordinačių sistemoje sprendimas būtų kur kas sudetingesnis.

1.
  • Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
<=>
<=>

Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje: ir Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki o - nuo iki Figūros plotas todėl

  • Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
<=>
<=>

Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (0; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje: , ir Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki o - nuo iki Figūros plotas todėl

  • Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
<=>

Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje: , Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki o - nuo iki Figūros plotas todėl

Dabar rasime šį plotą be integralų. Yra 2 trikampiai, kuriuos sudaro 3 tiesės: , , . Tiese su asimi Ox sudaro kampą 45 laipsniu arba . Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą, , , , , arba 60 laipsniu. Tiesė su tiese kertasi šiuose taškuose , , jie gaunami išsprendus lygčių sistemą:
.

Keitimo butu gauname,

; ; ; ; ; , ; , netinka, nes , nes Ox asimi dirbama nuo 0 iki 4, taip pat netinka grafike, nes nesikerta tieses kai x=9,4641. Dabar randame koks yra y, kai kertasi šios dvi tiesės; y=x, taigi y=2,535898385, tą patį gauname ir įstačius x į lygtį .

Dabar galime rasti ilgį tiesės iki susikirtimo su apskritimo spinduliu, kuris yra tiesė , taigi Taip pat randame ilgį tiesės iki susikirtimo su tiese . Taigi,

Toliau randame tiesės ir tiesės susikirtimo taškus. Keitimo budu išsprendžiame sistemą:

; ; ; . Įstačius šią reikšmę į lygtį , gauname , kad tiesės kertasi taške, kai ir

Pagal pitagoro teorema surandame vienu metu ir tiesės ir tiesės ilgius (abiejų tiesių ilgiai vienodi) iki jų susikirtimo taško:

Dabar galime rasti iškirptą tiesės dalį kitų dviejų tiesių: ir . Taigi, .
Žinodami kampą tarp tiesės ir , kuris yra laipsnių arba , pagal formulę , gauname plotą trikampio iškirptą tiesių , ir iš viršaus tiese . Tą patį plotą gausime ir taikydami Herono formulę:

; Skaičiuojant dviais būdais plotas sutampa.

Tiesė su apskritimu kertasi taške (x; y)=(4; 4). Jei nuleisime nuo susikirtimo vietos žemyn tiesę statmeną Ox ašiai gausime apskritimo spindulį . Randame y=x tiesės ilgį nuo (0; 0) iki (4; 4): . Toliau randame y=x tiesės ilgį nuo šios tiesės susikirtimo su tiese taško iki susikirtimo su apskritimu taško. Taigi,

Dabar pagal Herono formulę galime rasti trikampio iškirptą tiesių , ir tiesės x=4, kuri turi taškus (4; 0) ir (4; 4):

;

Kampas tarp tiesės ir tiesės yra laipsnių (arba ) analogiškai kaip iš 90 laipsnių atimti 60 laipsnių kampą, kurį sudaro tiesė su Ox ašimi. Šios dalies plotą galime apskaičiuoti taip: Iš šito ploto atėmus ką tik suskaičiuoto trikampio plotą gausime dalį ieškomo ploto: . Taigi visos ieškomos dalies plotas yra Visai toks kaip integruojant.


  • Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
<=>

Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje: , Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki o - nuo iki Figūros plotas todėl

Be kita ko, Taip pat, Padauginus iš 4 gauname išpjovos plotą iš apskritimo, kurio spindulys r=4, plotas padidėja (R yra didžiojo apskritimo spindulys, o r - mažojo), kai mažojo apskritimo spindulio ilgis tik padvigubėjo; jei spindulys pailgės 3 kartus, plotas padidės kartus, todėl išpjovos skiriasi tik didžiu.
  • Figūrą riboja kreivės Apskaičiuokime tos figuros plotą.
apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje: , Tiesė su ašimi Ox sudaro kampą o tiesė - kampą

Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo iki Žinodami, kad skritulio plotas yra suprantame, kad reikia vesti (tarkim, skriestuvu) pusė (apskritimo) ilgio, o ne , todėl

Ir


2.
  • Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas, apribotas iš viršaus paviršiumi , tai turime:

kur D - kūno pagrindas - apskritimas plkštumoje XOY. Perėję į poliarines koordinates gauname:

Šio kūno tūrį galima rasti gerokai greičiau. Cilindro pjuvis tesiasi nuo iki kai , nes iš lygties , z yra žemiausiame taške 2, kai , o , taigi . Todėl iš pradžių apskaičiuosime cilindro tūrį, kai 0<z<2, kitaip tariant, kai cilindro spindulys , o aukštis :
Aukščiau esančią cilindro dalį, kurios aukštis yra , projectuojame į plokštumą zOy ir matome, kad gaunasi 2 vienodi trikampiai (vienas iš jų nepriklauso tai daliai). Taigi tiesiog aukštesnės dalies tūrį gauname padalinę cilindrą pusiau:
.
3.
  • Apskaičiuosime paviršiaus dalį paraboloido išpjautą cilindro Paviršiaus ploto formulė yra Taip kaip tai

kur D - apskritimas plokštumoje XOY. Pereidami į poliarines koordinates gauname: kur

  • Ritinys (a>0) išpjauna iš rutulio kūną. Apskaičiuokime jo tūrį V. Apskaičiuokime 1/4 ieškomo tūrio, nes kūnas simetriškas plokštumų xOz ir xOy atžvilgiu. Integravimo sritis D yra duotojo ritinio pagrindas. Kūną iš viršaus riboja paviršius

todėl Šį dvilypį integralą apskaičiuosime pakeisdami kartotiniu integralu polinėje koordinačių sistemoje. Tuomet Rasime kintamųjų ir kitimo rėžius. Iš apskritimo lygties turime: Taigi sritį D gauname, kai kinta nuo 0 iki o - nuo 0 iki Todėl kur pasinaudojom dvigubu faktorialu trigonometrijoje.

  • Rasime tūrį V kūno, gauto iš rutulio išpjovus du cilindrus ir Dėl išpjauto kūno simetriškumo jį sudaro 8 lygiatūrės dalys. Rutulio formulė:

Kadangi kūno V tūris yra lygus rutulio ir išpjautojo kūno tūrių skirtumui, tai

Paviršiaus ploto apskaičiavimas

Tarkime, kad srityje D paviršių nusako lygtis z=z(x, y), funkcijos išvestinės ir yra tolydžios srityje D. Paviršiaus dalies, kurios projekcija plokštumoje xOy yra sritis D, plotas apskaičiuojamas pagal formulę

Pavyzdžiai

1.
  • Apskaičiuosime integralą dalyje piltuvėlio paviršiaus Paviršius S projektuojasi į plokštumą XOY srityje D, kuri yra žiedas Šitame žiede funkcijos - netrūkios. Todėl

2.
  • Rasime plotą dalies kanoninio paviršiaus i6kerpamo plokštumomis ir gulinčios pirmame oktante. Taip kaip funkcija ir srtitis D, esanti projekcija šios dalies į plokšumą XOY, tenkina tolydumo sąlyga, apskaičiuojame paviršių pagal formulę. Be to t. y.

Sritį D randame kaip trikampių skirtumą:

  • Paraboliniai cilindrai bei plokštuma išpjauna iš plokštumos kreivinį trikampį. Apskaičiuokime jo plotą.

Plokštumos lygtį parašykime taip: Kreivinį trikampį projektuokime į plokštumą xOy. Randame: Tuomet

  • Raskime plotą tos ritinio paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys

Iš paviršiaus lygties išplaukia, kad Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOz. Vadinasi: Tuomet čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo Taigi

3.
  • Apskaičiuosime plotą tos dalies plokštumos kuri yra pirmame oktante.

Taip kaip funkcija ir sritis D, esanti projekcija šios dalies paviršiaus į plokštumą Oxy, tenkina suformuluotas auksčiau salygas, tai ieškomą plotą galima apskaičiuoti pagal formule. Turime Sritis D yra trikampis, apribotas ašimis Ox, Oy ir tiese 6x+3y=12, gaunamos iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname

Dvilypio integralo taikymas mechanikoje

Plokščios figūros masė

Dvilypiu integralu masė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdžiai

  • Skritulinės plokštelės spindulys R, o jos plokštuminis tankis tiesiog proporcingas atstumo nuo taško iki plokštelės centro kvadratui. Plokštelės kontūro taškuose tankis lygus a. Apskaičiuokime tos plokštelės masę. Pagal sąlyga, tankis taške (x; y) lygus atstumo nuo to taško iki taško (0; 0) kvadratui: be to, kai taškas (x; y) priklauso apskritimui tai Iš čia proporcingumo koeficientas Vadinasi, Tuomet

Šį integralą apskaičiuosime pakeisdami jį kartotiniu integralu, užrašytu polinėje koordinačių sistemoje. Taigi

kvadratinė plokštelė
  • Rasime kvadratinės plokštelės masę su kraštine 2a, jeigu tankis kiekviename taške proporcionali atstumo kvadratui nuo taško M iki įžambinių susikirtimo (iki centro), ir proporcingumo koeficientas lygus k. Parinksime koordinačių sistemą kaip parodyta paveiksliuke. Po šito galima rasti funkciją iš užduoties salygos. Tegu M(x; y) - bet kuris laisvai pasirenkamas taškas kvadratinės plokštelės. Tada atstumo kvadratas nuo taško M iki taško suskirtimo įstrižainių lygus Todėl, tankis taške M:

Pagal formulę turime Žinant, kad pointegralinė funkcija lyginė atžvilgiu x ir y, o integravimo sritis simteriška koordinačių ašių atžvilgiu, galima apsiriboti apskaičiavimu integralo toje dalyje srities D, kuri yra I ketvirtyje, t. y.

1.

Plokščios figūros statiniai momentai ir masės centro koordinatės

Masės centro koordinatės randamos pagal formules:

Pavyzdžiai

  • Homogeninę plokštelę riboja kreivės ir Apskaičiuokime tos plokštelės masės centro koordinates.

Kai tai formulės supaprastėja: Apskaičiuojame: Vadinasi

  • Homogeninę plokštelę riboja tiesės ir ir iš dešinės tiesė lygiagreti Oy ašiai. Apskaičiuokime tos plokštelės masės centro koordinates.

Kai tai formulės supaprastėja: Apskaičiuojame: Vadinasi

plokštelė.
  • Rasime centro koordinates homogeninės plokštelės, apribotos dvejomis parabolėmis ir Iš pradžių apskaičiuosime plokštelės masę

Toliau apskaičiuosime statinius momemntus jos kordinačių ašių atžvilgiu:

Plokščios figuros inercijos momentai

Inercijos momentai ašių Ox, Oy ir koordinačių pradžios atžvilgiu lygūs

Pavyzdžiai

2.
  • Homogeninę figūrą riboja kardioidė Apskaičiuokime tos figūros inercijos momentus ašių Ox, Oy ir poliaus O atžvilgiu. Kai tai formulės virsta tokiomis:

Šiuos integralus apskaičiuosime išreikšdami juos polinėmis koordinatėmis. Pirmiausia imame ir o dydį apskaičiuosime kaip jų skirtumą Turime: Pakeisdami šiuos dvilypius integralus kartotiniais, apsiribosime 1/2 srities D dalimi. Taigi Pakeitę kintamąjį pagal formulę gauname Tuomet

  • Rasime inercijos momentą skritulio su spinduliu R su vienodu tankiu koordinačių pradžios atžvilgiu.

Pereiname į poliarines koordinates. Lygtis apskritimo (skritulio kraštai) poliarinėse koordinatėse atrodo taip Todėl