Matematika/Paviršinis integralas

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

Paviršiaus ploto apskaičiavimas[keisti]

Tarkime, kad srityje D paviršių nusako lygtis z=z(x, y), funkcijos išvestinės ir yra tolydžios srityje D. Paviršiaus dalies, kurios projekcija plokštumoje xOy yra sritis D, plotas apskaičiuojamas pagal formulę

Pavyzdžiai[keisti]

1.
  • Apskaičiuosime dalyje piltuvėlio paviršiaus plotą. Paviršius S projektuojasi į plokštumą XOY srityje D, kuri yra žiedas Šitame žiede funkcijos - netrūkios. Todėl
Patikriname. Kūgio paviršiaus ploto formulė be pagrindo yra kur R yra pagrindo spindulys, o l yra apotema ir didžiojo kūgio yra lygi O mažojo kūgio apotema yra lygi Dabar galime rasti piltuvėlio formos figuros tikrąjį plotą:

2.
  • Rasime plotą dalies kanoninio paviršiaus iškerpamo plokštumomis ir gulinčios pirmame oktante. Taip kaip funkcija ir srtitis D, esanti projekcija šios dalies į plokšumą XOY, tenkina tolydumo sąlyga, apskaičiuojame paviršių pagal formulę. Be to t. y.

Sritį D randame kaip trikampių skirtumą:

  • Paraboliniai cilindrai bei plokštuma išpjauna iš plokštumos kreivinį trikampį (13.15 pav.). Apskaičiuokime jo plotą.

Plokštumos lygtį parašykime taip: Kreivinį trikampį projektuokime į plokštumą xOy. Randame: Tuomet


  • Raskime plotą tos ritinio paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys

Iš paviršiaus lygties išplaukia, kad Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOx. Vadinasi:

Tuomet čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo Taigi

Palyginimui, kvadrato plotas yra Paviršiaus plotas kurį suradome turi projekciją į xOy ašį, o tos projekcijos plotas yra
  • Raskime plotą tos ritinio paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys

Iš paviršiaus lygties išplaukia, kad Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOz. Vadinasi: Tuomet čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo Taigi

Palyginimui, kvadrato plotas yra o visuose oktantuose esantis plotas lygus
Paaiškinimui, ritinio spindulys r=a, o aukštinė h=a, jei skaičiuoti tik teigiamas reikšmes (viename oktante) arba h=2a su ritinio puse(mis) esančia(-iomis) kituose oktantuose, kai z, x reikšmės neigiamos. Pirmo ritinio pagrindas yra plokštumoje xOy, o centras yra (0; 0; 0), o antro ritinio pagrindas yra plokštumoje zOy, o centras (0; 0; 0) (jei neigiamos z ir x reikšmės "nepratesiamos").
3.
  • Apskaičiuosime plotą tos dalies plokštumos kuri yra pirmame oktante.

Taip kaip funkcija ir sritis D, esanti projekcija šios dalies paviršiaus į plokštumą Oxy, tenkina suformuluotas auksčiau salygas, tai ieškomą plotą galima apskaičiuoti pagal formule. Turime Sritis D yra trikampis, apribotas ašimis Ox, Oy ir tiese 6x+3y=12, gaunamos iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname

Šį plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ABC, kurio taškai yra A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=2, OB=e=4, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:
Toliau randame trikampio ABC pusperimetrį ir plotą:
  • Apskaičiuoti plotą plokštumos esančios pirmame oktante (pav. 427).
Randame:
Sritis yra trikampis, apribotas ašimis Ox, Oy ir tiese 2x+3y=6, y=(6-2x)/3 gaunama iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname
Šį plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ABC, kurio taškai yra A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=3, OB=e=2, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:
Toliau randame trikampio ABC pusperimetrį ir plotą: