Aptarimas:Matematika/Vektorius

Iš Wikibooks.
Jump to navigation Jump to search

VA CIA KAIP NEREIKIA DARYTI, kad negauti klaidingo kampo:

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

Trikampio plotas yra

Kampo tarp vektorių sinusas yra

radianų arba laipsnių, kur
Taikydami kosinusų toeremą ir Herono formulę patikrinsime ar kampas ir trikampio plotas S surasti teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį

Iš kosinusų teoremos žinome, kad ;
radiano arba 109.4712206 laipsnio.

Idomus faktas, jog

radiano arba 70.52877937 laipsnio.

Dar kitas būdas patikrinti:


spalvotas paveikslelis[keisti]

Nereikia bandyti duprasti spavloto paveikslelio, ir n prasmes, nes ten nieko teisingo ir konkretaus nera. Šis paveikslėlis labiau tiktų apibūdinti mišriąją vektorių sandauga, kai n yra statmenas lygiagretainiui, kuris gaunamas is vektorinės sandaugos 'modulyje' . Tuomet lygiagretainio gretasienio tūris yra . Zemiau pateiktas bandymas ka nors suprast:


Vektorinė vektorių sandauga

Grafinis vektorinės sandaugos pavaizdavimas

Vektorinės vektorių sandaugos rezultatas yra vektorius. Vektorinė vektorių sandauga turi prasmę tik didesnio nei dviejų matavimų erdvėse.

Vektorių a  ×  b sandauga yra vektorius, statmenas a ir b ir yra aprašytas taip:

kur yra kampas tarp vektorių a ir b , o vektorius n yra statmenas a ir b vektoriams ir betkurioms tiesiems, kurios jungia bet kuriuos vektorių a ir b taškus.

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0), n=(0; 0; 10). Kampas tarp vektoriaus a ir b yra lygus arba 63,43494882 laipsnių.

Kadangi vektorinė sandauga keičia ženklą esant veidrodiniam atspindžiui (P-simetrija), jos rezultatas kartais vadinamas pseudo-vektoriumi.


Angliskoje wikipedijoje raso http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Alternative_formulation , kad

Taciau pagal formule is skyriaus "kampas tarp vektoriu":
radiano arba 63,43494882 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas surastas teisingai. Atkarpos t ilgis iš taško a=(1; -2; 0) iki taško b=(3; 0; 0) yra lygus

Iš kosinusų teoremos žinome, kad ;

Reiškia jei
tai

radiano arba 63.43494882 laipsnio.

blogas pavyzdys?[keisti]

Nei vienas is vektoriniu budu nedave teisingo atsakymo ir atsakymas pats keistas gavosi per Herono formule, tai greiciausiai blogas pavyzdys, t.y. vektorius c nestatmenas plokstumai ant kurios guli vektoriai a ir b. Problema yra tame, kad neaisku kuris vektorius yra statmenas kuriems.

  • Duoti vektoriai a=(1; 2; -2), b=(1; -2; 1), c=(1; -2; 3), kurių pradžios koordinatės yra (0; 0; 0). Rasime gretasienio tūrį:

Gretasienio tūris yra |-8|=8. Taip pat galima skaičiuot taip:

Patikriname ar atsakymas bus toks pat naudojant vektorine sandauga sudaugina su statmeno vektoriaus ilgiu:

Patikriname taikydami Herono formulę.

Rasime kampą tarp vektoriaus a=(1; 2; -2) ir vektoriaus b=(1; -2; 1).

arba 47,12401133 laipsnių.

Rasime kampą tarp vektoriaus a=(1; 2; -2) ir vektoriaus c=(1; -2; 3).

arba 36,6992252 laipsnių.

Rasime kampą tarp vektoriaus b=(1; -2; 1) ir vektoriaus c=(1; -2; 3).

arba 84,5349762 laipsnių.

Palikimas laiko gaišimo[keisti]

  • Pavyzdis. Trikampės piramidės viršūnės yra taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško D į sieną ABC, ilgį.
Sprendimas. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško A: AB, AC, AD. Žinome, kad trikampės piramidės tūris

Randame vektorių AB, AC ir AD koordinates:
AB=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},
AC=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},
AD=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.
Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:
Tada trikampės piramidės tūris

Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:

Bet todėl
Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:
kur

Toliau pabandysime įrodyti, kad piramidės tūris surastas teisingai. Mes jau turime vieno lygiagretainio plotą į kurį įeina trikampio ABC plotas:
Antro lygiagretainio plotas yra

Dabar, jeigu tiesė CD=t yra statmena plokštumai ACD, tai piramidės tūris yra lygus

kur
Piramidės Tūris gavosi neteisingas (turėjo būti 26). Vadinasi atkarpa CD nėra stati plokštumai ABC. Bet galbūt tiesė CB=f yra stati plokštumai ACD, tai mes ir pabandysime išsiaiškinti. Randame jos ilgį:
Panašu, kad tai laiko gaišimas, kad patikrinti visų tiesių statumą ir, kad tokiu būdų nepavyks įrodyti mišrios vektorių sandaugos formulės teisingumo piramidei.

Neaišku ar vektoriai sudaro piramidę[keisti]

  • Duoti vektoriai a=(3; 4; 5), b=(4; 3; 5), c=(-3; -4; 5). Vektorius c su vektoriu b sudaro beveik 90 laipsnių kampą. Vektorius c su vektorium b sudaro kampą
arba 88.854008 laipsnių. Taigi vektorius c yra beveik status abiems vektorioms, ko ir reikia norint surasti apytikslu lygiagretainio gretasienio tūrį (vektoriu c parinkti taip, kad butu status abiems vektoriams yra begalo sunku). Galime patikrinti, kad vektorius c su vektorium a tikrai sudaro 90 laipsniu kampą:
arba 90 laipsnių.

Rasime lygiagretainio gretasienio tūrį:

Patikriname:

Patikriname taikydami Herono formulę.

Atstumas tarp taškų a=(3; 4; 5) ir b=(4; 3; 5) yra lygus:


  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4; 5), b=(4; 3; 5), c=(-3; -4; 5). Vektorius c su vektorium b sudaro kampą
arba 88.854008 laipsnių.
Vektorius c su vektorium a sudaro kampą:
arba 90 laipsnių.
Kadangi vektorius a su vektoriumi c sudaro statų kampą, tai vektoriaus c ilgis yra aukštinė piramidės, kurios pagrindas yra trikampis sudarytas iš vektorių a ir b. Apskaičiuosime to trikampio plotą

Randame piramidės, kurią sudaro vektoriai a, b ir c aukštinę h, taigi:
Randame piramidės, kurią sudaro vektoriai a, b ir c tūrį:
Bandydami gauti piramidės tūrį, kurią sudaro vektoriai a, b, c, naudodami mišriąją vektorių sandaugą, gausime neteisingą atsakymą:

Klaidingas tikrinimas[keisti]

  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7}. Apskaičiuosime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį V.
Sprendimas. Piramidės tūris yra lygus 1/6 mišrios vektorių a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7} sandaugos. Taigi:
Patikrinsime ar tūrio radimo formulė teisinga, rasdami pusiaukampinės vektorių d tarp vektorių a ir b ir apskaičiuodami pirmidės aukštinės h ilgį nuleistos į pirmidės pagrindą (trikampį), kurį sudaro vektoriai a ir b. Taigi,
Surandame kampą tarp vektorių d ir c:
radiano arba 58.85448647 laipsnio.
Tuomet aukštinės ilgis yra:

Piramidės tūris yra:

Klaidingas patikrinimas 2[keisti]

  • Pavyzdis. Trikampės piramidės viršūnės yra taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško D į sieną ABC, ilgį.
Sprendimas. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško A: AB, AC, AD. Žinome, kad trikampės piramidės tūris

Randame vektorių AB, AC ir AD koordinates:
AB=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},
AC=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},
AD=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.
Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:
Tada trikampės piramidės tūris

Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:

Bet todėl
Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:
kur

Toliau įrodysime, kad piramidės tūris surastas teisingai. Rasime pusiaukampinę kampo tarp vektorių AB ir AC. Sudėję šių vektorių ortus gausime naują vektorių AG, kurio koordinatės yra:
Rasime kampą tarp vektoriaus AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir vektoriaus AB={2; 3; 1}. Taigi,
radiano arba 40.98844149 laipsnio.
Patikrinimui, rasime kampą tarp vektoriaus AC={-4; 4; -1} ir AB={2; 3; 1}, taigi
radiano arba 81,97688296 laipsnio. Patikriname, kad
Surandame kampą tarp vektorių AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir AD={4; 4; -6}, taigi:
radiano arba 67.39020453 laipsnio.
Piramidės aukštinės h (kuri nuleista iš taško D į piramidės pagrindą ABC) ilgis yra tiesės AD ilgis padaugintas iš todėl gauname:

Randame ABCD piramidės tūrį:
Tašką į kurį nuleista aukštinė iš taško D, pavadiname tašku E. Randame projekcija vektoriaus AD={4; 4; -6} vektoriuje AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, tos projekcijos ilgis yra AE. Gauname:
Iš Pitagoro teoremos randame aukštine h=DE, taigi:
Patikrinsime ar vektoriai AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, AB={2; 3; 1} ir AC={-4; 4; -1} komplanarūs (ar vektoriai guli toje pačioje plokštumoje):
Mišrios vektorių sandaugos rezultatas yra 0, todėl vektoriai AG, AB ir AC priklauso tai pačiai plokštumai.