Aptarimas:Matematika/Tiesė ir plokštuma

Neteisingas pavyzdys. Taškas M(-2; 3; 4) turi būti tiesės taškas.

Žemiau pateiktas pavyzdys su klaida, kurį ištaisysiu. Taškas M(-2; 3; 4) turi būti tiesės

$(l)...{\frac {x-3}{1}}={\frac {y+1}{2}}={\frac {z-1}{1}}.$

taškas.

Kad tai padaryti reikia vietoje x, y ir z įstatyti tokias reikšmes, kad (l) lygtyje tuos parametrus įstačius būtų gauta ta pati t reikšmė. Pavyzdžiui, x=4, y=1, z=2, tada t=1, o taškas M tada bus toks: M(4; 1; 2).

• Rasti atstumą nuo taško M(-2; 3; 4) iki tiesės

$(l)...{\frac {x-3}{1}}={\frac {y+1}{2}}={\frac {z-1}{1}}.$

Pavyzdžio sprendimo planas sekantis:

1. Sudarysime lygtį plokštumos P, praeinančios per tašką M statmenai tiesei l.

2. Rasime tašką K susikirtimo tiesės l su plokštuma P.

3. Nustatysime atstumą nuo taško M iki tiesės l, kaip atstumą tarp taškų M ir K.

Sprendimas. Sudarysime lygtį įvairių plokštumų su centru taške M (plokštumos kurios eina per tašką M):

$A(x+2)+B(y-3)+C(z-4)=0.$

Plokštumos P normalės vektorius (statmenas plokštumai P) yra ${\vec {n}}=(A;B;C).$ Tiesės l krypties vektorius yra ${\vec {s}}=(m;n;p)=(1;2;1).$ Kad tiesė būtų statmena plokštumai mums reikia, kad tiesės krypties vektorius sutaptu su plokštumos noramlės vektoriumi. Tuomet ${\vec {n}}=(A;B;C)=(1;2;1).$ Esant stačiam kampui tarp plokštumos P ir tiesės l galima užrašyti lygtį plokštumos P:

$(x+2)+2(y-3)+(z-4)=0,$

$x+2+2y-6+z-4=0,$

$x+2y+z-8=0.$

Taškui K

$t_{1}=-{\frac {Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{Am+Bn+Cp}}=-{\frac {1\cdot 3+2\cdot (-1)+1\cdot 1-8}{1\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 1}}=$

$=-{\frac {3-2+1-8}{1+4+1}}=-{\frac {-6}{6}}=1,$

iš kur

${\begin{cases}x_{K}=x_{0}+mt_{1}=3+1\cdot 1=4,&\\y_{K}=y_{0}+nt_{1}=-1+2\cdot 1=1,&\\z_{K}=z_{0}+pt_{1}=1+1\cdot 1=2.&\end{cases}}$

Gavome tiesės l ir plokštumos P susikirtimo tašką K(4; 1; 2).

Atstumas nuo taško M(-2; 3; 4) iki taško K(4; 1; 2) yra:

$MK={\sqrt {(4+2)^{2}+(1-3)^{2}+(2-4)^{2}}}={\sqrt {36+4+4}}={\sqrt {44}}=2{\sqrt {11}}.$

Pastebėsime, kad taškas K yra projekcija taško M į tiesę l.