Aptarimas:Matematika/Plokštuma

Taško atstumo iki plokštumos formulė neteisinga

Atstumas nuo taško iki plokštumos 1.

Atstumas nuo taško iki plokštumos 2.

Atstumas nuo taško iki plokštumos 3.

Per pavyzdį patikrinau, kad taško atstumo iki plokštumos formulė yra neteisinga.

Tegu duota plokštuma

$2x+2y+2z-8=0,$

$x+y+z-4=0,$

$z=4-x-y.$

Rasime taško $C(1;\;1;\;0)$ atstumą iki šitos plokštumos.

Iš pradžių randamas atstumas nuo taško O(0; 0; 0) iki taško M(2; 2; 0) gulinčio ant xOy koordinačiu plokštumos. Pagal Pitagoro formulę šis atstumas lygus

$OM={\sqrt {2^{2}+2^{2}}}={\sqrt {8}}=2.82842712474619.$

Kai x ir y lygus 0, z reikšmė šitos plokštumos lygi 4. Kampas $\alpha$ tarp tiesės OM ir tiesės jungiančios taškus M(2; 2; 0) ir Q(0; 0; 4) yra gaunamas štai kaip. Jei laikysime, kad OQ yra $\sin \alpha ,$ o OM yra $\cos \alpha ,$ tai

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {4}{\sqrt {8}}}=1.414213562373={\sqrt {2}}.$

$\alpha =\arctan {\sqrt {2}}=54.7356103172453^{\circ }.$

Atstumas nuo taško C(1; 1; 0) iki taško M(2; 2; 0) yra lygus

$CM=OM/2=2.82842712474619/2=1.414213562373095={\sqrt {2}}.$

Trumpiausias atstumas nuo taško C(1; 1; 0) iki tiesės QM yra trumpiausias atstumas d nuo taško C(1; 1; 0) iki plokštumos $z=4-x-y.$

$d={\sqrt {2}}\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin(54.7356103172453^{\circ })={\sqrt {2}}\cdot 0.81649658=1.15470053837925.$

$\sin \alpha$ reikia padauginti iš ${\sqrt {2}}$, nes ižambinė CM lygi ${\sqrt {2}}$ vietoje 1.

Skaičiuojant pagal oficialią taško atstumo iki plokštumos formulę, gausime:

plokštuma $x+y+z-4=0;$

$M_{1}$ arba C(1; 1; 0) yra taškas esantis ne ant plokštumos;

plokštumos normalės vektorius yra ${\vec {n}}=(A;B;C)=(1;\;1;\;1);$

$\|{\vec {n}}\|={\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}={\sqrt {1^{2}+1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {3}}=1.7320508.$

$d={\frac {|{\vec {CC_{proj.ant.plok}}}\cdot {\vec {n}}|}{\|{\vec {n}}\|}}={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}={\frac {|1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0-4|}{\sqrt {3}}}={\frac {|2-4|}{\sqrt {3}}}=$

$={\frac {|-2|}{\sqrt {3}}}={\frac {2}{1.73205080756887729}}=1.154700538379251529.$

Pasirodo, kad taško atstumo iki plokštumos formulė teisinga. Dalinau skaičiuojant d iš ${\sqrt {2}}$, o reikėjo iš ${\sqrt {3}}$ dalint.

Įrodysiu, kad oficiali taško atstumo iki plokštumos formulė yra teisinga. Skaičiuojant d pagal ją, dauginamas vektorius ${\vec {CC_{proj.ant.plok}}}$, kuris yra taško trumpiausio atstumo iki plokštumos vektorius, iš plokštumos normalės vektoriaus ${\vec {n}}$ ir ši sandauga padalinama iš plokštumos normalės vektoriaus ilgio $\|{\vec {n}}\|.$ Tai yra tas pats kas padauginti vektorių ${\vec {CC_{proj.ant.plok}}}$ iš normalizuoto normalės vektoriaus ${\vec {n}}$ arba kitaip tariant iš vektoriaus ${\vec {n}}$ orto ${\vec {n^{\circ }}}.$ Vektoriaus ${\vec {CC_{proj.ant.plok}}}$ ortas yra lygus vektoriaus ${\vec {n}}$ ortui.

Pirmas pavyzdys. Tarkime duotas vektorius ${\vec {c}}=\{1;\;1;\;1\}.$ Jo ilgis yra

$\|{\vec {c}}\|={\sqrt {1^{2}+1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {3}}.$

O dabar padauginsime šitą vektorių iš jo orto. Jo ortas yra:

${\vec {c^{\circ }}}={\frac {\{1;\;1;\;1\}}{\sqrt {3}}}=\{{\frac {1}{\sqrt {3}}};\;{\frac {1}{\sqrt {3}}};\;{\frac {1}{\sqrt {3}}}\}.$

Padauginus skaliarine vektorių sandauga vektorių c iš jo normalizuoto vektoriaus, gaunama:

${\vec {c}}\cdot {\vec {c^{\circ }}}=1\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+1\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}+1\cdot {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {3}{\sqrt {3}}}={\sqrt {3}}.$

Gavome tą patį ilgį.

Antras pavyzdys. Duotas vektorius ${\vec {c}}=\{2;\;2;\;2\}.$ Jo ilgis yra

$\|{\vec {c}}\|={\sqrt {2^{2}+2^{2}+2^{2}}}={\sqrt {12}}.$

O dabar padauginsime šitą vektorių iš jo orto. Jo ortas yra:

${\vec {c^{\circ }}}={\frac {\{2;\;2;\;2\}}{\sqrt {12}}}=\{{\frac {2}{\sqrt {12}}};\;{\frac {2}{\sqrt {12}}};\;{\frac {2}{\sqrt {12}}}\}.$

Padauginus skaliarine vektorių sandauga vektorių c iš jo normalizuoto vektoriaus, gaunama:

${\vec {c}}\cdot {\vec {c^{\circ }}}=2\cdot {\frac {2}{\sqrt {12}}}+2\cdot {\frac {2}{\sqrt {12}}}+2\cdot {\frac {2}{\sqrt {12}}}={\frac {4+4+4}{\sqrt {12}}}={\frac {12}{\sqrt {12}}}={\sqrt {12}}.$

Gavome tą patį ilgį.

Trečias pavyzdys. Duotas vektorius ${\vec {c}}=\{1;\;2;\;3\}.$ Jo ilgis yra

$\|{\vec {c}}\|={\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}}}={\sqrt {14}}.$

O dabar padauginsime šitą vektorių iš jo orto. Jo ortas yra:

${\vec {c^{\circ }}}={\frac {\{1;\;2;\;3\}}{\sqrt {14}}}=\{{\frac {1}{\sqrt {14}}};\;{\frac {2}{\sqrt {14}}};\;{\frac {3}{\sqrt {14}}}\}.$

Padauginus skaliarine vektorių sandauga vektorių c iš jo normalizuoto vektoriaus, gaunama:

${\vec {c}}\cdot {\vec {c^{\circ }}}=1\cdot {\frac {1}{\sqrt {14}}}+2\cdot {\frac {2}{\sqrt {14}}}+3\cdot {\frac {3}{\sqrt {14}}}={\frac {1+4+9}{\sqrt {14}}}={\frac {14}{\sqrt {14}}}={\sqrt {14}}.$

Gavome tą patį ilgį.

Keista, kad matematikos vadovėliuose nėra šitos ilgesnės vektoriaus ${\vec {c}}=\{x_{c};\;y_{c};\;z_{c}\}$ ilgio skaičiavimo formulės:

$\|{\vec {c}}\|={\vec {c}}\cdot {\vec {c^{\circ }}}=x_{c}\cdot {\frac {x_{c}}{\sqrt {x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+z_{c}^{2}}}}+y_{c}\cdot {\frac {y_{c}}{\sqrt {x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+z_{c}^{2}}}}+z_{c}\cdot {\frac {z_{c}}{\sqrt {x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+z_{c}^{2}}}},$

kuri ekvivalenti šiai formulei:

$\|{\vec {c}}\|={\sqrt {x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+z_{c}^{2}}}.$

Detalesnis nagrinėjimas. Duotoji plokštuma $x+y+z-4=0$ turi normalės vektorių ${\vec {n}}=\{1;\;1;\;1\}.$ Ši plokštuma duoda tas pačias skaičiaus D reikšmes su bet kokiom x ir y reikšmėm, kai dauginamas vektorius $\{x-x_{0};\;y-y_{0};\;z-z_{0}\}$ su normalės vektorium ${\vec {n}}=\{1;\;1;\;1.\}$. Kadangi $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0},$ tai paėmę x=1, y=1, gauname z=4-x-y=4-1-1=2. Ir x+y+z=1+1+2=4. Tada paėmę x=2, y=2, gauname z=4-x-y=4-2-2=0. Ir x+y+z=2+2+0=4. Tada dar paėmę x=0, y=0, gauname z=4-x-y=4-0-0=4. Ir x+y+z=0+0+4=4. Ir dar paėmę x=1, y=2, gauname z=4-x-y=4-1-2=1. Ir x+y+z=1+2+1=4. Ir dar paėmę x=1, y=0, gauname z=4-x-y=4-1-0=3. Ir x+y+z=1+0+3=4.

Vadinasi, nesvarbu kokius plokštumos $x+y+z-4=0$ taškus paimsi, skaliarinė sandauga vektoriaus (gulinčio ant šitos plokštumos) su normalės vektorium ${\vec {n}}=\{1;\;1;\;1\}.$ duos visada tą pačią D reikšmę.

Todėl įrodinėjant oficialią taško iki plokštumos formulę

$d={\frac {|{\vec {M_{0}M_{1}}}\cdot {\vec {n}}|}{\|{\vec {n}}\|}}={\frac {|(x_{1}-x_{0})A+(y_{1}-y_{0})B+(z_{1}-z_{0})C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

tašką $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}),$ priklausantį plokštumai $x+y+z-4=0$ galima imti labai labai arti taško M(x; y; z), kuris sakykime šiuo atveju bus susikirtimo taškas plokštumos $x+y+z-4=0$ ir tiesės, kuri yra trumpiausias atstumas nuo taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ (nepriklausančio šiai plokštumai) iki taško $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}).$ Ir nesvarbu kaip arti paimti tašką $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ prie taško M(x; y; z), kuris yra projekcija taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ (nepriklausančio šiai plokštumai) ant plokštumos $x+y+z-4=0$ (taškas M(x; y; z) priklauso šiai plokštumai; Atstumas $M_{0}M$ yra trumpiausias atstumas nuo taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ iki plokštumos $x+y+z-4=0$), ir įstačius taško $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ koordinates į plokštumos lygtį $A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0,$ vis tiek visada bus gauta ta pati D reikšmė $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-4,$ nes A=1, B=1 ir C=1.

Vadinasi, kai galima laikyti, kad taško $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ koordinatės yra beveik tos pačios kaip taško M(x; y; z), kuris taip pat guli ant plokštumos $x+y+z-4=0$, tai iš esmės galima pasirinkti bet kuri šios plokštumos tašką ir bus gauta ta pati D reikšmė. Todėl vektoriaus ${\vec {M_{1}M_{0}}}$ skaliarinė sandauga su normalės vektorium ${\vec {n}}=\{A;\;B;\;C\}=\{1;\;1;\;1\}$ padalinto iš jo ilgio (normalizavus normalės vektorių) duos vektoriaus ${\vec {M_{1}M_{0}}}$ ilgį arba, kitaip tariant, atstumą nuo taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ iki plokštumos $x+y+z-4=0$. Pagal formulę:

$d={\frac {|{\vec {M_{0}M_{1}}}\cdot {\vec {n}}|}{\|{\vec {n}}\|}}={\frac {|(x_{1}-x_{0})A+(y_{1}-y_{0})B+(z_{1}-z_{0})C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

kuri lygi šiai formulei

$d=|{\vec {M_{0}M_{1}}}\cdot {\frac {\vec {n}}{\|{\vec {n}}\|}}|=|(x_{1}-x_{0}){\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}+(y_{1}-y_{0}){\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}+(z_{1}-z_{0}){\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}|=$

$=|{\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}x_{1}+{\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}y_{1}+{\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}z_{1}+{\frac {D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}|.$

Kaip panagrinėta aukščiau, vektoriai ${\vec {M_{0}M_{1}}}$ ir ${\vec {n^{\circ }}}={\frac {\vec {n}}{\|{\vec {n}}\|}}$ yra kolinearūs ir ju skaliarinė sandauga duoda taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ atstumą iki plokštumos $x+y+z-4=0.$

Toliau bus patikrinta ar su kitokia plokštuma ši oficiali taško atstumo iki plokštumos formulė veikia.

Duota plokštuma $x+2y+2z-8=0$. Arba $z=4-x/2-y.$

Iš pradžiu patikrinsime ar x+y+z visada duoda tą pačią reikšmę.

Kai x=1, y=1, gauname z=4-x/2-y=4-1/2-1=2.5. Ir x+y+z=1+1+2.5=4.5.

Kai x=2, y=2, gauname z=4-x/2-y=4-2/2-2=1. Ir x+y+z=2+2+1=5.

Kai x=2, y=1, gauname z=4-x/2-y=4-2/2-1=2. Ir x+y+z=2+1+2=5.

Kai x=1, y=2, gauname z=4-x/2-y=4-1/2-2=1.5. Ir x+y+z=1+2+1.5=4.5.

Kai x=0, y=2, gauname z=4-x/2-y=4-0/2-2=2. Ir x+y+z=0+2+2=4.

Kai x=2, y=0, gauname z=4-x/2-y=4-2/2-0=3. Ir x+y+z=2+0+3=5.

Kai x=1, y=0, gauname z=4-x/2-y=4-1/2-0=3.5. Ir x+y+z=1+0+3.5=4.5.

Kai x=0, y=1, gauname z=4-x/2-y=4-0/2-1=3. Ir x+y+z=0+1+3=4.

Kai x=0, y=0, gauname z=4-x/2-y=4-0/2-0=4. Ir x+y+z=0+0+4=4.

Kai x=4, y=2, gauname z=4-x/2-y=4-4/2-2=0. Ir x+y+z=4+2+0=6.

Kai x=2, y=3, gauname z=4-x/2-y=4-2/2-3=0. Ir x+y+z=2+3+0=5.

Matyti, kad su skirtingom x ir y reikšmėm suma x+y+z skiriasi (svyruoja nuo 4 iki 6).

Šios plokštumos normalės vektorius yra ${\vec {n}}=\{A;\;B;\;C\}=\{1;\;2;\;2\}.$

Kadangi $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}$ ir A=1, B=2, C=2, tai su skirtingom x, y, z reikšmėm (su skirtingias plokštumos taškais) gaunama ta pati D reikšmė. Tai parodyta žemiau.

Kai x=1, y=1, z=2.5, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 1+2\cdot 1+2\cdot 2.5)=-(1+2+5)=-8.$

Kai x=2, y=2, z=1, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 2+2\cdot 2+2\cdot 1)=-(2+4+2)=-8.$

Kai x=2, y=1, z=2, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)=-(2+2+4)=-8.$

Kai x=1, y=2, z=1.5, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 1.5)=-(1+4+3)=-8.$

Kai x=0, y=2, z=2, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 0+2\cdot 2+2\cdot 2)=-(0+4+4)=-8.$

Kai x=2, y=0, z=3, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 2+2\cdot 0+2\cdot 3)=-(2+0+6)=-8.$

Kai x=1, y=0, z=3.5, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 1+2\cdot 0+2\cdot 3.5)=-(1+0+7)=-8.$

Kai x=0, y=1, z=3, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 0+2\cdot 1+2\cdot 3)=-(0+2+6)=-8.$

Kai x=0, y=0, z=4, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 0+2\cdot 0+2\cdot 4)=-(0+0+8)=-8.$

Kai x=4, y=2, z=0, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 4+2\cdot 2+2\cdot 0)=-(4+4+0)=-8.$

Kai x=2, y=3, z=0, tai $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-(1\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 0)=-(2+6+0)=-8.$

Vadinasi, samprotaujant analogikškai, kaip tai buvo daroma nagrinėjant plokštumą $x+y+z-4=0,$ galima tvirtinti, kad oficiali taško atstumo iki plokštumos formulė yra teisinga visais atvejais.

Trumpai. Imamas vektorius $\{x-x_{0};\;y-y_{0};\;z-z_{0}\}$ gulintis ant plokštumos. Taškas M(x; y; z) ant plokštumos parenkamas taip, tarsi tai yra projekcija trumpiausio atstumo nuo taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$. Toliau ant šios plokštumos pasirenkamas taškas $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$, kurio koordinatės tik vos vos skiriasi nuo taško M(x; y; z) koordinačių. Vadinasi atstumas $M_{1}M_{0}$ bus praktiškai trumpiausias atstumas nuo taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ iki plokštumos $x+2y+2z-8=0$. Įstačius taško $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ koordinates į formulę $D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}$ bus gauta reikšmė -8, t. y.

$D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}=-1x_{0}-2y_{0}-2z_{0}=-8.$

Taip ir gaunama formulė:

$d={\frac {|{\vec {M_{0}M_{1}}}\cdot {\vec {n}}|}{\|{\vec {n}}\|}}={\frac {|(x_{1}-x_{0})A+(y_{1}-y_{0})B+(z_{1}-z_{0})C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

kuri lygi šiai formulei:

$d=|{\vec {M_{0}M_{1}}}\cdot {\frac {\vec {n}}{\|{\vec {n}}\|}}|=|(x_{1}-x_{0}){\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}+(y_{1}-y_{0}){\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}+(z_{1}-z_{0}){\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}|=$

$=|{\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}x_{1}+{\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}y_{1}+{\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}z_{1}+{\frac {D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}|.$

Nes aukščiau parodžiau, kad vektoriaus sandauga su jo paties normalizuotu vektoriu duoda vektoriaus ilgį. Vektoriai ${\vec {M_{0}M_{1}}}$ ir ${\vec {n}}$ yra kolinearūs (praktiškai tas pats vektorius, tik skiriasi ilgis ir gali būti priešingos krypties).