Matematika/Tiesė ir plokštuma

Susikirtimo taškas tiesės ir plokštumos

Tegu duota plokštuma

$Ax+By+Cz+D=0$

ir tiesė

${\frac {x-x_{0}}{m}}={\frac {y-y_{0}}{n}}={\frac {z-z_{0}}{p}},$ čia $M(x_{0};y_{0};z_{0})$ yra betkoks tiesės taškas, o vektorius ${\vec {s}}=(m;n;p)$ yra tiesės krypties vektorius.

Tada:

$t_{1}=-{\frac {Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{Am+Bn+Cp}}.$

Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ koordinates įstatysime rastą reikšmę $t_{1}\;$ į parametrinę lygtį tiesės:

${\begin{cases}x_{1}=x_{0}+mt_{1},&\\y_{1}=y_{0}+nt_{1},&\\z_{1}=z_{0}+pt_{1}.&\end{cases}}$

Įrodymas vektorinėje formoje

Duotos lygtis $({\vec {N}},\;{\vec {r}})+D=0$ plokštumos P, kur ${\vec {N}}=(A;B;C),\;{\vec {r}}=(x;y;z),$ ir lygtis ${\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+{\vec {s}}t$ tiesės l, kur ${\vec {s}}=(m;n;p)$ ir ${\vec {r_{0}}}=(x_{0};y_{0};z_{0}).$

Tegu $M_{1}$ - taškas susikirtimo tiesės l su plokštuma P. Pažymėsime per $t_{1}\;$ reikšmę parametro t taškui $M_{1}$.

Kadangi prie šito reikšmė parametro vektorius ${\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+{\vec {s}}t_{1}$ yra spindulys-vektorius taško, gulinčio ant plokštumos, tai, įstačius jį į lygtį plokštumos $({\vec {N}}{\vec {r}})+D=0,$ mes gausime: $({\vec {N}},\;({\vec {r_{0}}}+{\vec {s}}t_{1}))+D=0,$ t. y.

$t_{1}({\vec {N}},\;{\vec {s}})+({\vec {N}},{\vec {r_{0}}})+D=0,$

iš kur, jeigu $({\vec {N}},\;{\vec {s}})\neq 0,$ nustatysime

$t_{1}=-{\frac {({\vec {N}},{\vec {r_{0}}})+D}{({\vec {N}},\;{\vec {s}})}}.$

Įstatę reikšmę $t_{1}\;$ į lygtį tiesės l, rasime spindulį-vektorių ${\vec {r_{1}}}$ taško susikirtimo tiesės l ir plokštumos P:

${\vec {r_{1}}}={\vec {r_{0}}}+{\vec {s}}t_{1}.$

Tegu dabar lygtys plokštumos ir tiesės parašytos koordinatinėje formoje:

$(P)...\;Ax+By+Cz+D=0,$

$(l)...\;{\frac {x-x_{0}}{m}}={\frac {y-y_{0}}{n}}={\frac {z-z_{0}}{p}}.$

Tada panaudoję lygybę $t_{1}=-{\frac {({\vec {N}},{\vec {r_{0}}})+D}{({\vec {N}},\;{\vec {s}})}},$ gausime:

$t_{1}=-{\frac {Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{Am+Bn+Cp}}.$

Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ koordinates įstatysime rastą reikšmę $t_{1}\;$ į parametrinę lygtį tiesės:

${\begin{cases}x_{1}=x_{0}+mt_{1},&\\y_{1}=y_{0}+nt_{1},&\\z_{1}=z_{0}+pt_{1}.&\end{cases}}$

Įrodymas nevektorinėje formoje

Duota lygtis $Ax+By+Cz+D=0$ plokštumos P, kur plokštumos normalė stati plokštumai yra ${\vec {N}}=(A;B;C)$ ir trijų kintamųjų vektorius yra ${\vec {r}}=(x;y;z),$ ir duota lygčių sistema

tiesės $l,\;$ kur tiesės krypties vektorius yra ${\vec {s}}=(m;n;p)$ ir tiesės betkuris pasirinktas žinomas taškas $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}).$

Tegu $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ - taškas susikirtimo tiesės l su plokštuma P. Pažymėsime per $t_{1}\;$ reikšmę parametro t taškui $M_{1}$.

Kadangi prie šito reikšmė parametro vektorius ${\vec {r}}=$ ${\begin{cases}x=x_{0}+mt_{1},&\\y=y_{0}+nt_{1},&\\z=z_{0}+pt_{1}&\end{cases}}$

yra spindulys-vektorius taško, gulinčio ant plokštumos, tai, įstačius jį į lygtį plokštumos $({\vec {N}}{\vec {r}})+D=Ax+By+Cz+D=0,$ mes gausime: $({\vec {N}},\;({\vec {r_{0}}}+{\vec {s}}t_{1}))+D=A(x_{0}+mt_{1})+B(y_{0}+nt_{1})+C(z_{0}+pt_{1})+D=0,$ t. y.

$t_{1}({\vec {N}},\;{\vec {s}})+({\vec {N}},\;{\vec {r_{0}}})+D=t_{1}(Am+Bn+Cp)+Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0,$

iš kur, jeigu $({\vec {N}},\;{\vec {s}})=Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}\neq 0,$ nustatysime

$t_{1}=-{\frac {({\vec {N}},{\vec {r_{0}}})+D}{({\vec {N}},\;{\vec {s}})}}=-{\frac {Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{Am+Bn+Cp}}.$

Įstatę reikšmę $t_{1}\;$ į lygtį tiesės $l\;$, rasime spindulį-vektorių ${\vec {r_{1}}}$ taško susikirtimo tiesės $l\;$ ir plokštumos P:

${\vec {r_{1}}}={\vec {r_{0}}}+{\vec {s}}t_{1}=$ ${\begin{cases}x_{1}=x_{0}+mt_{1},&\\y_{1}=y_{0}+nt_{1},&\\z_{1}=z_{0}+pt_{1}.&\end{cases}}$

Tegu dabar lygtys plokštumos ir tiesės parašytos koordinatinėje formoje:

$(P)...\;Ax+By+Cz+D=0,$

$(l)...\;{\frac {x-x_{0}}{m}}={\frac {y-y_{0}}{n}}={\frac {z-z_{0}}{p}}.$

Tada panaudoję lygybę $t_{1}=-{\frac {({\vec {N}},{\vec {r_{0}}})+D}{({\vec {N}},\;s)}},$ gausime:

$t_{1}=-{\frac {Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{Am+Bn+Cp}}.$

Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})$ koordinates įstatysime rastą reikšmę $t_{1}\;$ į parametrinę lygtį tiesės:

${\begin{cases}x_{1}=x_{0}+mt_{1},&\\y_{1}=y_{0}+nt_{1},&\\z_{1}=z_{0}+pt_{1}.&\end{cases}}$

Trumpai tariant, esmė buvo surasti tiesės l nusakytos parametrinėmis lygtimis ${\begin{cases}x=x_{0}+mt_{1},&\\y=y_{0}+nt_{1},&\\z=z_{0}+pt_{1},&\end{cases}}$, parametrą $t_{1},\;$ įstačius tiesės $x_{0}+mt_{1}$, $y_{0}+nt_{1}$ ir $z_{0}+pt_{1}$ reikšmes į bendrąją plokštumos lygtį $Ax+By+Cz+D=0$ vietoje x, y ir z. Tokiu budu randamas tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas $M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1}),$ įstačius $t_{1}\;$ į lygtis ${\begin{cases}x_{1}=x_{0}+mt_{1},&\\y_{1}=y_{0}+nt_{1},&\\z_{1}=z_{0}+pt_{1}.&\end{cases}}$

Kažkas panašaus kaip sprendžiama dviejų tiesių plokštumoje lygčių sistema (kad surasti tų tiesių susikirtimo tašką) keitimo budu.

Pavyzdžiai

• Rasti projekciją taško M(9; -13; -18) į plokštumą P

$9x-17y-15z+23=0.$

Užduoties išsprendimui sudarysime lygtį tiesės, praeinančios per tašką M statmenai plokštumai P.

Lygtys betkurios tiesės, praeinančios per tašką M, turės pavidalą:

${\frac {x-9}{m}}={\frac {y+13}{n}}={\frac {z+18}{p}}.$

Pagal statmenumo sąlygą tiesės ir plokštumos $\left({\frac {A}{m}}={\frac {B}{n}}={\frac {C}{p}}\right)$ galima į lygtį tiesės vietoje koeficientų m, n, p įstatyti proporcingus jiems dydžius A, B, C:

${\frac {x-9}{9}}={\frac {y+13}{-17}}={\frac {z+18}{-15}}.$

Kad surasti projekciją N taško M(9; -13; -18) į plokštumą reikia rasti susikirtimo tašką plokštumos $9x-17y-15z+23=0$ ir tiesės ${\frac {x-9}{m}}={\frac {y+13}{n}}={\frac {z+18}{p}}.$ Pagal formulę nustatome susikirtimo tašką

$t_{1}=-{\frac {Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{Am+Bn+Cp}}=-{\frac {9\cdot 9+(-17)\cdot (-13)+(-15)\cdot (-18)+23}{9\cdot 9-17\cdot (-17)-15\cdot (-15)}}=$

$=-{\frac {81+221+270+23}{81+289+225}}=-1.$

Iš čia koordinatės taško $N(x_{N};y_{N};z_{N})$ nustatomos pagal formules ${\begin{cases}x_{1}=x_{0}+mt_{1},&\\y_{1}=y_{0}+nt_{1},&\\z_{1}=z_{0}+pt_{1}.&\end{cases}}$ :

${\begin{cases}x_{N}=x_{0}+mt_{1}=9+9\cdot (-1)=0,&\\y_{N}=y_{0}+nt_{1}=-13-17\cdot (-1)=-13+17=4,&\\z_{N}=z_{0}+pt_{1}=-18-15\cdot (-1)=-18+15=-3,&\end{cases}}$

t. y. N(0; 4; -3).

• Duoti du tiesės taškai $M_{0}(3;5;2),$ $M_{1}(7;4;9)$ ir duota bendroji plokšumos lygtis $6x+7y+8z+12=0$. Rasime pratestos atkarpos $M_{1}M_{2}$ ir plokštumos $6x+7y+8z+12=0$ susikirtimo tašką.

Sprendimas. Žinodami du tiesės T taškus $M_{1}$ ir $M_{2}$ parašykime tiesės T kanoninę lygtį pasinaudodami formule:

${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}};$

${\frac {x-3}{7-3}}={\frac {y-5}{4-5}}={\frac {z-2}{9-2}};$

${\frac {x-3}{4}}={\frac {y-5}{-1}}={\frac {z-2}{7}}.$

Tiesės T krypties vektorius yra ${\vec {s}}=(4;-1;7).$

Tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką pažymėkime $N(x_{2};y_{2};z_{2})$. Pagal formulę randame:

$t_{1}=-{\frac {Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{Am+Bn+Cp}}=-{\frac {6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 2+12}{6\cdot 4+7\cdot (-1)+8\cdot 7}}=$

$=-{\frac {18+35+16+12}{24-7+56}}={\frac {81}{73}}=-1.109589041.$

Paverskime tiesės T kanonines lygtys ${\frac {x-3}{4}}={\frac {y-5}{-1}}={\frac {z-2}{7}}=t_{1}$ parametrinėmis lygtimis:

${\begin{cases}{\frac {x-3}{4}}=t_{1},&\\{\frac {y-5}{-1}}=t_{1},&\\{\frac {z-2}{7}}=t_{1};&\end{cases}}$

${\begin{cases}x-3=4t_{1},&\\y-5=-t_{1},&\\z-2=7t_{1};&\end{cases}}$

${\begin{cases}x=3+4t_{1},&\\y=5-t_{1},&\\z=2+7t_{1}.&\end{cases}}$

Toliau vietoje šios $6x+7y+8z+12=0$ plokštumos x, y, z reikšmių įstatome tiesės reikšmes $3+4t_{1}$, $5-t_{1}$, $2+7t_{1}$ ir gauname:

$6(3+4t_{1})+7(5-t_{1})+8(2+7t_{1})+12=0,$

$18+24t_{1}+35-7t_{1}+16+56t_{1}+12=0,$

$24t_{1}-7t_{1}+56t_{1}=-18-35-16-12,$

$73t_{1}=-81,$

$t_{1}=-{\frac {81}{73}}=-1.109589041.$

Dabar galime surasti tiesės T ir plokštumos $6x+7y+8z+12=0$ susikirtimo tašką $N(x_{2};y_{2};z_{2})$. Taigi, susikirtimo taško N koordinatės yra:

${\begin{cases}x_{2}=x_{0}+mt_{1}=3+4\cdot \left(-{\frac {81}{73}}\right)=3-{\frac {324}{73}}=-1.438356164,&\\y_{2}=y_{0}+nt_{1}=5-\left(-{\frac {81}{73}}\right)=5+{\frac {81}{73}}=6.109589041,&\\z_{2}=z_{0}+pt_{1}=2+7\cdot \left(-{\frac {81}{73}}\right)=2-{\frac {567}{73}}=-5.767123288,&\end{cases}}$

vadinasi, N(-1,438356164; 6,109589041; -5,767123288).

• Rasti atstumą nuo taško M(-2; 3; 4) iki tiesės

$(l)...{\frac {x-3}{1}}={\frac {y+1}{2}}={\frac {z-1}{1}}.$

Pavyzdžio sprendimo planas sekantis:

1. Sudarysime lygtį plokštumos P, praeinančios per tašką M statmenai tiesei l.

2. Rasime tašką K susikirtimo tiesės l su plokštuma P.

3. Nustatysime atstumą nuo taško M iki tiesės l, kaip atstumą tarp taškų M ir K.

Sprendimas. Sudarysime lygtį įvairių plokštumų su centru taške M (plokštumos kurios eina per tašką M):

$A(x+2)+B(y-3)+C(z-4)=0.$

Plokštumos P normalės vektorius (statmenas plokštumai P) yra ${\vec {n}}=(A;B;C).$ Tiesės l krypties vektorius yra ${\vec {s}}=(m;n;p)=(1;2;1).$ Kad tiesė būtų statmena plokštumai mums reikia, kad tiesės krypties vektorius sutaptu su plokštumos noramlės vektoriumi. Tuomet ${\vec {n}}=(A;B;C)=(1;2;1).$ Esant stačiam kampui tarp plokštumos P ir tiesės l galima užrašyti lygtį plokštumos P:

$(x+2)+2(y-3)+(z-4)=0,$

$x+2+2y-6+z-4=0,$

$x+2y+z-8=0.$

Taškui K

$t_{1}=-{\frac {Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{Am+Bn+Cp}}=-{\frac {1\cdot 3+2\cdot (-1)+1\cdot 1-8}{1\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 1}}=$

$=-{\frac {3-2+1-8}{1+4+1}}=-{\frac {-6}{6}}=1,$

iš kur

${\begin{cases}x_{K}=x_{0}+mt_{1}=3+1\cdot 1=4,&\\y_{K}=y_{0}+nt_{1}=-1+2\cdot 1=1,&\\z_{K}=z_{0}+pt_{1}=1+1\cdot 1=2.&\end{cases}}$

Gavome tiesės l ir plokštumos P susikirtimo tašką K(4; 1; 2).

Atstumas nuo taško M(-2; 3; 4) iki taško K(4; 1; 2) yra:

$MK={\sqrt {(4+2)^{2}+(1-3)^{2}+(2-4)^{2}}}={\sqrt {36+4+4}}={\sqrt {44}}=2{\sqrt {11}}.$

Pastebėsime, kad taškas K yra projekcija taško M į tiesę l.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos

Tarkime, tiesė T nusakoma kanoninėmis lygtimis

${\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}},$

o plokštuma $\pi$ nusakoma lygtimi $Ax+By+Cz+D=0.$ Kampu $\phi$ tarp tiesės T ir plokštumos $\pi$ vadiname kampą tarp tos tiesės ir jos projekcijos plokštumoje $\pi$. Kadangi $\phi +\alpha ={\frac {\pi }{2}},$ tai $\cos \alpha =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\sin \phi ;$

čia $\alpha$ yra kampas tarp tiesės T krypties vektoriaus ${\vec {s}}=(l;m;n)$ ir plokštumos $\pi$ normalės vektoriaus ${\vec {n}}=(A;B;C).$ Kitaip sakant, kampas $\alpha$ yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos normalės ${\vec {n}}=(A;B;C).$ Iš vektorių ${\vec {n}}$ ir ${\vec {s}}$ skaliarinės sandaugos išplaukia, kad

$\cos \alpha ={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {s}}}{\|{\vec {n}}\|\cdot \|{\vec {s}}\|}}={\frac {Al+Bm+Cn}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}}.$

Tada

$\sin \phi ={\frac {Al+Bm+Cn}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}},$

čia $\phi$ yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos $Ax+By+Cz+D=0.$

Kai tiesė T lygiagreti plokštumai $\pi$, tai tiesės krypties vektorius ${\vec {s}}=(l;m;n)$ yra statmenas plokštumos normalės vektoriui ${\vec {n}}=(A;B;C),$ todėl ${\vec {n}}\cdot {\vec {s}}=0.$ Iš čia gauname tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą:

$A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n=0.$

Kai tiesė T statmena plokštumai $\pi$, tai tiesės krypties vektorius ${\vec {s}}=(l;m;n)$ yra lygiagretus plokštumos normalės vektoriui ${\vec {n}}=(A;B;C),$ todėl jų koordinatės yra proporcingos. Iš čia išplaukia tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga:

${\frac {A}{l}}={\frac {B}{m}}={\frac {C}{n}}.$

• Pavyzdis. Su kuria B reikšme tiesė T, nusakoma lygtimis

${\begin{cases}4x-5y+z-3=0,&\\x+2y-3z+9=0,&\end{cases}}$

bus lygiagreti su plokštuma $\pi$, kurios lygtis $2x-By-2z-3=0$?

Sprendimas. Kai tiesė T lygiagreti su plokštuma $\pi$, tai tiesės krypties vektorius ${\vec {s}}=(l;m;n)$ yra statmenas plokštumos normalės vektoriui ${\vec {n}}=(2;-B;-2)$ ir skaliarinė jų sandauga ${\vec {s}}\cdot {\vec {n}}=0.$

Pažymėkime: ${\vec {n_{1}}}=(1;-2;3),\;\;{\vec {n_{2}}}=(4;-3;4).$ Kadangi ${\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}},$ tai iš sąlygos ${\vec {s}}\cdot {\vec {n}}=0$ išplaukia, kad $({\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}})\cdot {\vec {n}}=0.$ Vadinasi,

${\begin{vmatrix}1&-2&3\\4&-3&4\\2&-B&-2\end{vmatrix}}=0;$

${\begin{vmatrix}1&-2&3\\4&-3&4\\2&-B&-2\end{vmatrix}}=1(-3\cdot (-2)-4\cdot (-B))-(-2)(4\cdot (-2)-4\cdot 2)+3(4\cdot (-B)-(-3)\cdot 2)=0;$

${\begin{vmatrix}1&-2&3\\4&-3&4\\2&-B&-2\end{vmatrix}}=(6+4B)+2(-8-8)+3(-4B+6)=6+4B-32-12B+18=-8B-8=0;$

$-8B-8=0;$

$-8B=8;$

$B=-1.$

• Pavyzdis. Sudaryti lygtį plokštumos P, praeinančios pro tašką M(2; -1; 3) lygiagrečiai dviems tiesiems:

$T_{1}...{\frac {x-2}{3}}={\frac {y+17}{4}}={\frac {z-8}{-5}}$

ir

$T_{2}...{\frac {x+8}{2}}={\frac {y-14}{-3}}={\frac {z}{1}}.$

Parašysime lygtį visų plokštumų su centru taške M:

$A(x-2)+B(y+1)+C(z-3)=0.$

Panaudojame lygiagretumo sąlyga ($A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n=0$) plokštumos P tiesei $T_{1}$, o paskui ir tiesei $T_{2}$:

$3A+4B-5C=0,$

$2A-3B+C=0.$

Iš šitos sistemos giminingų lygčių nustatysime santykį koeficientų A, B, C ir paskui į lygtį $A(x-2)+B(y+1)+C(z-3)=0$ vietoje koeficientų A, B, C įstatysime proporcionalius jiems dydžius:

$A:B:C={\begin{vmatrix}4&-5\\-3&1\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}-5&3\\1&2\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}3&4\\2&-3\end{vmatrix}}=-11:-13:-17,$

$11(x-2)+13(y+1)+17(z-3)=0,$

$11x+13y+17z-60=0.$