Matematika/Piramidė

Iš Wikibooks.
Piramidės pagrindas gali būti bet kokia plokščia figūra, o piramidės aukštis yra aukštinės, kuri statmena pagrindui, ilgis.

Piramidės tūris[keisti]

Piramidės, kurios pagrindas yra S, o aukštinė h, tūris yra:

Nupjautinės piramidės tūris[keisti]

Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė lygi h, o pagrindų plotai S ir , tūrio formulė yra:
Jei daugiakampės nupjautinės piramidės pagrindų atitinkamos kraštinės yra A ir a; S - dydžiojo pagrindo plotas; - mažojo pagrindo plotas, tai piramidės tūris yra:
  • Pavyzdžiui, nupjautinio kūgio, kurio , , , tūris yra:
Kai apotema su kūgio pagrindu sudaro 45 laipsnių kampą kaip šiame pavyzdyje, tai nupjautinio kūgio tūris gali būtis apskaičiuotas taikant sukimo paviršiaus tūrio skaičiavimą integravimo metodu:
  • Pavyzdis. Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai kvadratai su kraštinėmis , , aukštine , tūris yra:
  • Pavyzdis. Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai stačiakampiai su didžiojo pagrindo kraštinėmis , ir mažojo pagrindo kraštinėmis , , aukštine , tūris yra:
Kraštinių santykis vienodas, 7/5=1.4 ir 4.2/3=1.4.

Nupjautinės piramidės tūrio formulės įrodymas[keisti]

Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė H, o pagrindų plotai S ir s, tūris lygus Įrodykime.
Sakykime, piramidės viršūnė yra taškas O. Per tašką O mubrėžkime Ox ašį, statmeną piramidės pagrindui. Tarkime, kad nupjautinės piramidės pagrindai kerta Ox ašį taškuose a ir b (a<b). Kiekviena Ox ašiai statmena plokštuma, kertanti tos ašies atkarpą [a; b] taške x, išpjauna iš piramidės daugiakampį, panašų į piramidės pagrindą. Todėl to pjūvio plotas S(x) lygus čia Be to,
ir
Nupjautinės piramidės tūrį skaičiuojame pagal formulę:
Taikydami šią formulę piramidei, tariame, kad Gauname