Matematika/Pasikliautiniai intervalai dispersijose

Iš Wikibooks.

Sudarysime pasikliautinį intervalą pagal normalųjį dėsnį pasiskirsčiusio dydžio $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ dispersijai $\mathbf{D}[X] = \sigma^2$ . Jeigu atsitiktinio dydžio vidurkis yra žinomas, o $\langle N_1, N_2, \dots, N_n \rangle$ atsitiktinė imtis, tai dispersijos taškiniam įverčiui galime naudoti statistiką

$S_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$ .

Šis įvertis yra nepaslinktas, t.y. $\mathbf{E} [S_0^2] = \sigma^2$ . Jeigu padalytume iš dispersijos, gautume

$\frac {S_0^2}{\sigma^2} = \frac{1}{n\sigma^2} \sum_{i=1}^n(X_i - \mu)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left (\frac{X_i - \mu}{\sigma} \right )^2$ , $\frac{n S_0^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n \left (\frac{X_i - \mu}{\sigma} \right )^2$ .

Panagrinėkime dydžius $Y_i = \left ( X_i - \mu \right ) / \sigma$ . Jie yra nepriklausomi, normalieji. Dar daugiau, kadangi $\mathbf{E}[Y_i] = 0$ , $\mathbf{D}[Y_i] = 1$ , tai dydžiai yra standartiniai normalieji, $Y_i \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Tačiau tada

$\frac{n S_0^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n Y_i \sim \mathcal{X}^2(n),$

taigi žinome koks yra statistikos $n S_0^2/\sigma^2$ pasiskirstymo dėsnis. Toliau sudaryti pasikliautinį intervalą galime panašiai kaip vidurkio atveju. Po dydžio $\mathcal{X}_n^2 \sim \mathcal{X}^2(n)$ tankiu tiesėmis $x = u$ , $x = v$ , $y = 0$ apribokime ploto $\mathrm{Q} \,\!$ figūrą. Čia $0 < \mathrm{Q} < 1 \,\!$ yra pasikliovimo lygmuo. Tada

$P \left ( u < \frac {n S_0^2}{\sigma^2}< v \right) = Q$ , arba $P \left ( \frac {nS_0^2}{v} < \sigma^2 < \frac {n S_0^2}{u} \right ) = Q$

Kaip parinkti skaičius $u$ , $v$ ? Geriausia juos parinkti taip, kad plotai po tankio grafiku į kairę nuo tiesės $x = u$ ir į dešinę nuo tiesės $x = v$ būtų lygūs $(1 - \mathrm{Q})/2 \,\!$ . Tada šie skaičiai būtų lygūs dydžio $\mathcal{X}_n^2$ atitinkamai $(1 - Q)/2 \,\!$ ir $(1 + Q)/2 \,\!$ lygmens kvantiliai, t.y. lygčių