Matematika/Paprastosios trupmenos

Paprastosios trupmenos

Trupmenų 1/4 ir 3/4 iliustracija - laikoma, kad visas skritulys atitinka vienetą

Kaip matome, natūrinių skaičių dalybos rezultatas kartais yra du skaičiai: dalmuo ir liekana. Kitų veiksmų (sudėties, atimties ir daugybos) rezultatas yra vienas skaičius (išskyrus atvejus kai veiksmas negalimas). Norėtųsi, kad ir dalybos rezultatas būtų vienas skaičius. Nepamirškite. Ši trupmena dažnai maišoma su dešimtine trupmena.

Tokius skaičius vadinsime trupmenomis. Jie gali būti užrašomi įvairiai. Čia panagrinėsime atvejį, kai tokie skaičiai užrašomi kaip paprastosios trupmenos. Tokiu atveju brėžiamas horizontalus (gulsčias) brūkšnys. Virš jo rašomas dalinys, o po juo - daliklis:

$4:2={\frac {4}{2}}.$

Toks skaičiaus užrašas perskaitomas kaip „keturios antrosios“.

Kadangi keturi dalijasi iš dviejų be liekanos, ši trupmena atitinka sveikąjį skaičių - 2. Tačiau kai dalinys iš daliklio be liekanos nesidalija, trupmena nesutampa su jokiu sveikuoju skaičiumi:

$1:2={\frac {1}{2}}.$

Ši trupmena perskaitoma kaip „viena antroji“ arba „pusė“.

Skaičius, paprastosios trupmenos užraše esantis virš brūkšnio, vadinamas skaitikliu, o esantis po brūkšniu - vardikliu. Vardiklis parodo, į kelias dalis vienetas padalijamas, o skaitiklis - kelios taip gautos dalys paimamos (nuo to ir pavadinimas).

Trupmenas galima užrašyti ir ne su horizontaliu brūkšniu:

$1:2={\frac {1}{2}}=1/2.$

Taip pat trupmenas, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį, galima užrašyti kaip mišriuosius skaičius. Tokiu atveju iš pradžių rašomas dalmuo, gautas padalijus skaitiklį iš vardiklio su liekana, o tada - trupmena, kurios vardiklis lieka tas pat, o skaitiklis yra minėtos dalybos liekana. Pavyzdžiui,

${\frac {7}{3}}=2{\frac {1}{3}}.$

Mišriojo skaičiaus užraše pirmasis skaičius dar vadinamas sveikąja dalimi, o trupmena - trupmenine dalimi. Atitinkamas skaičius perskaitomas kaip „du sveiki viena trečioji“.

Trupmenų prastinimas ir išplėtimas

Galima pastebėti, kad dviejų skaičių dalmuo gali kartotis su skirtingais daliniais ir dalikliais. Pavyzdžiui,

$2:1=4:2=6:3=8:4=2.\$

Be to, šiuo atveju galima pastebėti dar vieną dėsningumą:

$4:2=(2\cdot 2):(1\cdot 2)=2:1,$

$6:3=(2\cdot 3):(1\cdot 3)=2:1,$

$8:4=(2\cdot 4):(1\cdot 4)=2:1.$

Kitaip tariant, padauginus dalinį ir daliklį iš to paties skaičiaus, dalmuo nepakinta. Išimtis yra daugyba iš nulio: padauginus dalinį ir daliklį iš nulio, gausime nulius, o tokia dalyba negalima (tiksliau, dalmuo nėra apibrėžtas).

Galioja ir priešingas dėsningumas: dalinį ir daliklį padalijus iš to paties (nelygaus nuliui) skaičiaus, dalmuo nepakinta. Pavyzdžiui:

$4:2=(4:2):(2:2)=2:1,\$

$6:3=(6:3):(3:3)=2:1,\$

$8:4=(8:4):(4:4)=2:1.\$

Tai nenuostabu, nes, kaip pamatysime vėliau, dalyba atitinka daugybą iš tam tikro skaičiaus - atitinkamos trupmenos.

Šie dėsningumai panaudojami ir su paprastosiomis trupmenomis. Tokiu atveju jie reiškia, kad trupmenos nepakeisime, skaitiklį ir vardiklį padauginę ar padalinę iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui,

${\frac {1}{2}}={\frac {1\cdot 2}{2\cdot 2}}={\frac {2}{4}}$

arba

${\frac {2}{4}}={\frac {2:2}{4:2}}={\frac {1}{2}}.$

Tokia skaitiklio ir vardiklio daugyba iš to pat natūrinio skaičiaus vadinama trupmenos išplėtimu, o dalyba - trupmenos prastinimu.

Jei nėra tokio didesnio už vienetą natūrinio skaičiaus, iš kurio trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalytųsi be liekanos, trupmena vadinama nesuprastinama. Pavyzdžiui, 1/2 yra nesuprastinama trupmena.

Trupmenų bendravardiklinimas ir palyginimas

Trupmenų 2/4 ir 3/4 palyginimo iliustracija - laikoma, kad visas skritulys atitinka vienetą

Tarkime, turime dvi paprastąsias trupmenas, kurių vardikliai sutampa (kol kas turėsime reikalų tik su teigiamais skaičiais). Iš šių trupmenų didesnė bus ta, kurios skaitiklis didesnis. Tai natūralu: jei kuo didesnis dalinys, tuo didesnis ir dalmuo. Pavyzdžiui,

${\frac {7}{8}}>{\frac {5}{8}}>{\frac {4}{8}}>{\frac {1}{8}}.$

Bet ką daryti, jei turime dvi trupmenas, kurių vardikliai skiriasi? Prisiminkime, kad galime trupmenas išplėsti ir suprastinti. Tad išplėskim jas taip, kad jų vardikliai sutaptų. Toks išplėtimas vadinamas bendravardiklinimu.

Paprasčiausia trupmenas bendravardiklinti padauginant jų skaitiklį ir vardiklį iš kitos trupmenos vardiklio. Pavyzdžiui, subendravardiklinkime trupmenas 1/2 ir 2/3:

${\frac {1}{2}}={\frac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\frac {3}{6}},$

${\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 2}{3\cdot 2}}={\frac {4}{6}}.$

Vadinasi, 1/2 < 2/3, nes 3/6 < 4/6 (3 < 4).

Kaip matome, tokiu būdu išties gaunami vienodi vardikliai. Tai nenuostabu, nes vardiklyje gauname dvi daugybas, besiskiriančias tik dauginamųjų tvarka. O, kaip žinome, natūrinių skaičių daugybos rezultatas nuo dauginamųjų tvarkos nepriklauso.

Trupmenų sudėtis ir atimtis

Kaip sudėti paprastąsias trupmenas? Iš pradžių pasižiūrėkime, kaip sudedami sveikieji dalybos iš to paties skaičiaus rezultatai:

$(10:2)+(4:2)=5+2=7.\$

Įsitikinkime, kad tą patį rezultatą gausime, jei sudėsime dalinius ir padalysime juos iš to paties daliklio:

$(10+4):2=14:2=7.\$

Tai galioja ir kitais atvejais. Apibendrinę šį dėsningumą paprastosioms trupmenoms gausime tokią taisyklę: sudėdami dvi paprastąsias trupmenas su vienodais vardikliais, sudedame jų skaitiklius ir paliekame tą patį vardiklį. Pavyzdžiui:

${\frac {2}{5}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2+1}{5}}={\frac {3}{5}}.$

Kodėl taip yra? Prisiminkim, kad skaitiklis reiškia, kiek vieneto dalių paimame. Jei vardikliai vienodi, šios dalys irgi yra vienodos. Vadinasi, sudėdami trupmenas suskaičiuojame, kiek dalių iš viso yra abiejuose dėmenyse - tai ir bus sumos skaitiklis.

Analogiškas dėsningumas teisingas ir atimčiai:

$(14:2)-(4:2)=7-2=5,\$

$(14-4):2=10:2=5.\$

Tad apibendrinkim ir šį dėsningumą: atimdami vieną paprastąją trupmeną iš kitos, turinčios tą patį vardiklį, gausime paprastąją trupmeną, kurios skaitiklis bus šių trupmenų skaitiklių skirtumas, o vardiklis liks tas pats. Pavyzdžiui:

${\frac {3}{5}}-{\frac {1}{5}}={\frac {3-1}{5}}={\frac {2}{5}}.$

Bet ką daryti, jei trupmenų vardikliai nėra vienodi? Tokiu atveju reikia juos suvienodinti - trupmenas subendravardiklinti. Po to galima sudėti ar atimti taip, kaip buvo nurodyta anksčiau. Pavyzdžiui:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}={\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {3+2}{6}}={\frac {5}{6}}.$

Trupmenų daugyba ir dalyba

Kaip trupmenas dauginti? Pirmiausiai pasižiūrėkime, ką atitinka dviejų dalybų rezultatų sandauga:

$(6:2)\cdot (8:4)=3\cdot 2=6,$

$(6\cdot 8):(2\cdot 4)=48:8=6.$

Kaip matome, dviejų dalybų rezultatų sandauga yra lygi dalinių bei daliklių sandaugų dalmeniui. Tai galioja ir kitiems skaičiams. Apibendrinę šį dėsningumą gausime tokį būdą paprastosioms trupmenoms sudauginti: dviejų paprastųjų trupmenų sandaugos skaitiklis ir vardiklis bus, atitinkamai, dauginamųjų skaitiklių ir vardiklių sandaugos. Pavyzdžiui:

${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1\cdot 2}{2\cdot 3}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}.$

Nesunku įsitikinti, kad sudėję porą vienų trečiųjų gausime dvi trečiąsias. Tad pagal daugybos apibrėžimą dukart viena trečioji bus dvi trečiosios. Tada pagal dalybos apibrėžimą dvi trečiąsias padaliję iš dviejų gausime vieną trečiąją - tiek pat, kiek ir padauginę iš vienos antrosios. Ar tai reiškia, kad padauginti iš vienos antrosios yra tas pat, kas padalinti iš dviejų? Pasitikrinkime su sveikuoju skaičiumi:

${\frac {1}{2}}\cdot 8={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {8}{1}}={\frac {1\cdot 8}{2\cdot 1}}={\frac {8}{2}}={\frac {4}{1}}=4.$

Tikrai gavome tą pat rezultatą, kaip ir padaliję iš dviejų. Išties, šis dėsningumas galioja, ir ne tik dvejetui, bet ir kitiems skaičiams.

Analogiškai panagrinėkime, kaip trupmenas reikia dalinti. Iš pradžių pažiūrėkime, ką atitinka dviejų dalybų rezultatų dalmuo:

$(40:5):(20:10)=8:2=4.$

$(40\cdot 10):(5\cdot 20)=400:100=4.$

Kaip matome, dalybos atitikmuo panašus į daugybos atitikmenį. Tik daliklis lyg apverčiamas, jo dalinį ir daliklį sukeičiant vietomis. Kaip ir daugybos atveju, tai galioja ir kitokiems skaičiams. Apibendrinę gauname būdą paprastosioms trupmenoms dalyti: dviejų paprastųjų trupmenų dalmuo lygus tų pačių trupmenų sandaugai, kai daliklis yra apverčiamas (jo skaitiklis ir vardiklis sukeičiami vietomis). Pavyzdžiui:

${\frac {1}{3}}:{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{1}}={\frac {1\cdot 2}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$

Kaip matome, gavome tokį rezultatą, kurio buvo galima tikėtis iš ankstesnio pavyzdžio su daugyba.

Pratimai

1. Perskaitykite trupmenas: a) 1/2, b) 1/3, c) 2/3, d) 3/5, e) 3/10, f) 4/25, g) 21/100.

Ats.: a) viena antroji, b) viena trečioji, c) dvi trečiosios, d) trys penktosios, e) trys dešimtosios, f) keturios dvidešimt penktosios, g) dvidešimt viena šimtoji.

2. Užrašykite trupmenas: a) viena ketvirtoji, b) trys septintosios, c) dešimt keturioliktųjų, d) dvidešimt penkios šimtas vienuoliktosios.

Ats.: a) 1/4, b) 3/7, c) 10/14, d) 25/111.

3. Ar šios trupmenos suprastinamos? Jei taip, suprastinti iki nesuprastinamos: a) 4/5, b) 6/8, c) 4/18, d) 7/14, e) 8/17, f) 12/22.

Ats.: a) nesuprastinama, b) suprastinama, 3/4, c) suprastinama, 2/9, d) suprastinama, 1/2, e) nesuprastinama, f) suprastinama, 6/11.

4. Palyginti trupmenas: a) 1/4 ir 3/4, b) 5/7 ir 4/7, c) 1/2 ir 1/3, d) 1/8 ir 2/9, e) 1/2 ir 8/16.

Ats.: a) 1/4 < 3/4, b) 5/7 > 4/7, c) 1/2 > 1/3, d) 1/8 < 2/9, e) 1/2 = 8/16.

5. Sudėti trupmenas, jei galima, suprastinti ir užrašyti mišriuoju skaičiumi: a) 1/4 + 2/4, b) 2/8 + 5/8, c) 1/8 + 3/8, d) 1/2 + 2/3.

Ats.: a) 3/4, b) 7/8, c) 1/2, d) 7/6 = 1 1/6.