Matematika/Paprasčiausios algebrinės lygtys

Iš Wikibooks.

< Matematika

Peršokti į: navigaciją, paiešką

Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.

Naudosime tokį žymėjimą: x, x₁, x₂ ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.

[redaguoti] Pagrindinė algebros teorema

$n$ -tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).

[redaguoti] Tiesinė lygtis

Bendra forma:

$a\cdot x = b$

Sprendinys:

$x=\frac{b}{a}$

[redaguoti] Nepilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^2=b\,$

Sprendimas:

$\begin{align} x^2 & =\frac{b}{a}\\ x_{1,2} & =\pm\sqrt\frac{a}{b} \end{align}$

[redaguoti] Pilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^2+bx+c=0\,$

Sprendimas:

randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:

$D=b^2-4ac\,$

Tada jei $D < 0$ , tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$

[redaguoti] Kvadratinė lygtis, kurios $c = 0$

Bendra forma:

$ax^2+bx=0\,$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax+b)=0\,$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

$\begin{align} x=0\qquad\operatorname{arba}\qquad ax &=-b\\ x &=-\frac{b}{a} \end{align}$

[redaguoti] Bikvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^4+bx^2+c=0\,$

Sprendimas:

pažymime $x^2=y\,$ , tada $x^4=y^2\,$ .

$ay^2+by+c=0\,$ ,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra $y 1$ ir $y 2$ .

Grįžtame prie pažymėjimo:

$y_1=x^2\qquad\operatorname{ir}\qquad y_2=x^2$ ,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius $x 1, x 2, x 3, x 4$ .

[redaguoti] Kubinė lygtis, kurios $d = 0$

Bendra forma:

$ax^3+bx^2+cx=0\,$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax^2+bx+c)=0\,$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

$x=0\qquad\operatorname{arba}\qquad ax^2+bx+c=0$

Išsprendę kvadratinę lygtį, būsime radę visus tris lygties sprendinius $x 1, x 2, x 3$ .

[redaguoti] Pilnoji kubinė lygtis

Bendra forma:

$ax^3+bx^2+cx+d=0\,$

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu $x=y-\frac{b}{3}$ , pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

$x^3+px+q=0\,$ .

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

$D=(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3$

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:

1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

$x_1=\sqrt[3]{-\frac{p}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac{p}{2}-\sqrt{D}}$

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį $ax^3+bx^2+cx+d=0\,$ padaliję iš reiškinio $x-x_1\,$ , gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.

Matematika/Paprasčiausios algebrinės lygtys

Iš Wikibooks.

Turinys

[redaguoti] Pagrindinė algebros teorema

[redaguoti] Tiesinė lygtis

[redaguoti] Nepilnoji kvadratinė lygtis

[redaguoti] Pilnoji kvadratinė lygtis

[redaguoti] Kvadratinė lygtis, kurios $c = 0$

[redaguoti] Bikvadratinė lygtis

[redaguoti] Kubinė lygtis, kurios $d = 0$

[redaguoti] Pilnoji kubinė lygtis

Žiūrėti

Asmeniniai įrankiai

Paieška

Naršymas

Print/export

Įrankiai

Matematika/Paprasčiausios algebrinės lygtys

Iš Wikibooks.

Turinys

[redaguoti] Pagrindinė algebros teorema

[redaguoti] Tiesinė lygtis

[redaguoti] Nepilnoji kvadratinė lygtis

[redaguoti] Pilnoji kvadratinė lygtis

[redaguoti] Kvadratinė lygtis, kurios c = 0

[redaguoti] Bikvadratinė lygtis

[redaguoti] Kubinė lygtis, kurios d = 0

[redaguoti] Pilnoji kubinė lygtis

Žiūrėti

Asmeniniai įrankiai

Paieška

Naršymas

Print/export

Įrankiai

[redaguoti] Kvadratinė lygtis, kurios $c = 0$

[redaguoti] Kubinė lygtis, kurios $d = 0$