Matematika/Paprasčiausios algebrinės lygtys

Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.

Naudosime tokį žymėjimą: x, x₁, x₂ ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.

Pagrindinė algebros teorema

$n$-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).

Tiesinė lygtis

Bendra forma:

$a\cdot x=b$

Sprendinys:

$x={\frac {b}{a}}$

Bendra forma:

$ax^{2}=b\,$

Sprendimas:

${\begin{aligned}x^{2}&={\frac {b}{a}}\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {\frac {a}{b}}}\end{aligned}}$

Vijeto teorema

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui $p(X)=ax^{2}+bx+c\,$ ir jo šaknims $x_{1},x_{2}\,$ kvadratinėje lygtyje $p(x)=0\,$ yra

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

/lm; Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

$x^{2}-x-6=0,\,$

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {-1}{1}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-6}{1}}\end{cases}}$

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x₁ ir x₂ bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x₁ ir x₂, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui $p(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,$ ir jo šaknims $x_{1},x_{2},x_{3}\,$ lygtyje $p(X)=0\,$ yra

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$

Pilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Sprendimas:

randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:

$D=b^{2}-4ac\,$

Tada jei $D<0$, tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$

• Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.

$3x^{2}+8x+4=0,$

$D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16,$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-8\pm {\sqrt {16}}}{2\cdot 3}}={\frac {-8\pm 4}{6}}=-{\frac {2}{3}};\;-2.$

Patikriname:

$3\cdot (-{\frac {2}{3}})^{2}+8\cdot (-{\frac {2}{3}})+4=3\cdot {\frac {4}{9}}-{\frac {16}{3}}+4={\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3}}+4={\frac {4-16}{3}}+4={\frac {-12}{3}}+4=-4+4=0;$

$3\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+4=3\cdot 4-16+4=12-16+4=0.$

$c=0$

Bendra forma:

$ax^{2}+bx=0\,$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax+b)=0\,$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

${\begin{aligned}x=0\qquad \operatorname {arba} \qquad ax&=-b\\x&=-{\frac {b}{a}}\end{aligned}}$

Kvadratinė lygtis, kurios $a=1$

Duota kvadratinė lygtis:

$x^{2}+bx+c=0,$

kurią perrašome taip:

$\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0.$

Čia $\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}=x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4}}.$

Todėl:

$\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}=-\left(c-{\frac {b^{2}}{4}}\right),$

$\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-c,$

$x+{\frac {b}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}},$

$x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}},$

$x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot (b^{2}-4c)}},$

$x=-{\frac {b}{2}}\pm {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {b^{2}-4c}},$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}.$

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}};\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}.$

Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks

Duota kvadratinė lygtis:

$ax^{2}+bx+c=0,$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {c}{a}}=0,$

kurią perrašome taip:

$\left(x+{\frac {b}{2\cdot a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4\cdot a^{2}}}\right)=0.$

Čia $\left(x+{\frac {b}{2\cdot a}}\right)^{2}=x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4\cdot a^{2}}}.$

Todėl:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right),$

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}},$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}},$

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}},$

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4a^{2}}}\cdot (b^{2}-4ac)}},$

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {1}{2a}}\cdot {\sqrt {b^{2}-4ac}},$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Bikvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^{4}+bx^{2}+c=0\,$

Sprendimas:

pažymime $x^{2}=y\,$, tada $x^{4}=y^{2}\,$.

$ay^{2}+by+c=0\,$,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra $y_{1}$ ir $y_{2}$.

Grįžtame prie pažymėjimo:

$y_{1}=x^{2}\qquad \operatorname {ir} \qquad y_{2}=x^{2}$,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$.

Kubinė lygtis, kurios $d=0$

Bendra forma:

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax^{2}+bx+c)=0\,$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

$x=0\qquad \operatorname {arba} \qquad ax^{2}+bx+c=0$

Išsprendę kvadratinę lygtį, būsime radę visus tris lygties sprendinius $x_{1},x_{2},x_{3}$.

Pilnoji kubinė lygtis

Bendra forma:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu $x=y-{\frac {b}{3}}$, pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

$x^{3}+px+q=0\,$.

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

$D=({\frac {q}{2}})^{2}+({\frac {p}{3}})^{3}$

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:

1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

$x_{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {D}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {D}}}}$

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$ padaliję iš reiškinio $x-x_{1}\,$, gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.