Matematika/Paprasčiausios algebrinės lygtys

Iš Wikibooks.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.

Naudosime tokį žymėjimą: x, x1, x2 ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.

Pagrindinė algebros teorema[redaguoti]

n-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).

Tiesinė lygtis[redaguoti]

Bendra forma:

a\cdot x = b

Sprendinys:

x=\frac{b}{a}


Bendra forma:

ax^2=b\,

Sprendimas:

\begin{align}

x^2 & =\frac{b}{a}\\
x_{1,2} & =\pm\sqrt\frac{a}{b}
\end{align}

Vijeto teorema[redaguoti]

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui p(X)=ax^2 + bx + c\, ir jo šaknims x_1, x_2\, kvadratinėje lygtyje p(x)=0\, yra

 x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

/lm; Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

x^2 - x - 6 = 0,\,

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą


\begin{cases}
x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1}\\
x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{1}
\end{cases}

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x1 ir x2 bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x1 ir x2, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui p(X)=aX^3 + bX^2 + cX + d\, ir jo šaknims x_1, x_2, x_3\, lygtyje p(X)=0\, yra

 x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}

Pilnoji kvadratinė lygtis[redaguoti]

Bendra forma:

ax^2+bx+c=0\,

Sprendimas:

randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:

D=b^2-4ac\,

Tada jei D<0, tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

  • Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.
3x^2+8x+4=0,
D=b^2-4ac=8^2-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16,
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-8\pm\sqrt{16}}{2\cdot 3}=\frac{-8\pm 4}{6}=-\frac{2}{3}; \; -2.
Patikriname:
3\cdot(-\frac{2}{3})^2+8\cdot (-\frac{2}{3})+4=3\cdot\frac{4}{9}-\frac{16}{3}+4=\frac{4}{3}-\frac{16}{3}+4=\frac{4-16}{3}+4=\frac{-12}{3}+4=-4+4=0;
3\cdot (-2)^2+8\cdot (-2)+4=3\cdot 4-16+4=12-16+4=0.

c=0[redaguoti]

Bendra forma:

ax^2+bx=0\,

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

x(ax+b)=0\,

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

\begin{align}
x=0\qquad\operatorname{arba}\qquad ax &=-b\\
x &=-\frac{b}{a}
\end{align}

Kvadratinė lygtis, kurios a=1[redaguoti]

Duota kvadratinė lygtis:

x^2+bx+c=0,

kurią perrašome taip:

\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4}\right)=0.
Čia \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=x^2+bx+\frac{b^2}{4}.
Todėl:
\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=-\left(c-\frac{b^2}{4}\right),
\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2}{4}-c,
x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c},
x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c},
x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}\cdot (b^2-4c)},
x=-\frac{b}{2}\pm\frac{1}{2}\cdot \sqrt{b^2-4c},
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}.
x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4c}}{2}; \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}.

Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks[redaguoti]

Duota kvadratinė lygtis:

a x^2+bx+c=0,
x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}=0,

kurią perrašome taip:

\left(x+\frac{b}{2 \cdot a}\right)^2+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4\cdot a^2}\right)=0.
Čia \left(x+\frac{b}{2 \cdot a}\right)^2=x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{b^2}{4\cdot a^2}.
Todėl:
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2=-\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4 a^2}\right),
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2=\frac{b^2}{4 a^2}-\frac{c}{a},
x+\frac{b}{2 a}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}-\frac{c}{a}},
x=-\frac{b}{2 a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}-\frac{c}{a}},
x=-\frac{b}{2 a}\pm\sqrt{\frac{1}{4 a^2}\cdot (b^2-4 a c)},
x=-\frac{b}{2 a}\pm\frac{1}{2 a}\cdot \sqrt{b^2-4 a c},
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2a}.
x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4 a c}}{2a}; \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2a}.

Bikvadratinė lygtis[redaguoti]

Bendra forma:

ax^4+bx^2+c=0\,

Sprendimas:

pažymime x^2=y\,, tada x^4=y^2\,.

ay^2+by+c=0\,,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra y_1 ir y_2.

Grįžtame prie pažymėjimo:

y_1=x^2\qquad\operatorname{ir}\qquad y_2=x^2,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius x_1, x_2, x_3, x_4.

Kubinė lygtis, kurios d=0[redaguoti]

Bendra forma:

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

x(ax^2+bx+c)=0\,

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

x=0\qquad\operatorname{arba}\qquad ax^2+bx+c=0

Išsprendę kvadratinę lygtį, būsime radę visus tris lygties sprendinius x_1,x_2, x_3.

Pilnoji kubinė lygtis[redaguoti]

Bendra forma:

ax^3+bx^2+cx+d=0\,

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu x=y-\frac{b}{3}, pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

x^3+px+q=0\,.

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

D=(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:

1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

x_1=\sqrt[3]{-\frac{p}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac{p}{2}-\sqrt{D}}

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį ax^3+bx^2+cx+d=0\, padaliję iš reiškinio x-x_1\,, gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.