Matematika/Natūrinių skaičių atimtis
Atimtis
[keisti]
Atimtis - tai aritmetinis veiksmas, atvirkščias sudėčiai. Kitaip tariant, šiuo veiksmu, žinant sumą ir vieną dėmenį, randamas kitas dėmuo. Pavyzdžiui, žinome, kad 2 + 3 = 5, tad galime rašyti:
Tai skaitoma: „penki minus du lygu trys“ arba „iš penkių atėmę du gauname tris“. Čia „-“ yra atimties ženklas - minusas.
Skaičius, iš kurio atimama (žinoma suma), vadinamas turiniu, skaičius, kuris atimamas, (žinomas dėmuo) - atėminiu, o atimties rezultatas (ieškomas dėmuo) - skirtumu:
Natūraliųjų skaičių atimties apribojimai ir savybės
[keisti]Kadangi dviejų natūraliųjų skaičių suma niekada nėra mažesnė už dėmenis, natūrinių skaičių atimtis yra neapibrėžta, kai iš mažesnio skaičiaus atimamas didesnis. Pavyzdžiui, reiškinys 2 - 5 yra negalimas (jei nagrinėjami natūralieji skaičiai; vėliau bus įvesti neigiami skaičiai, kuriuos naudojant galima rasti ir tokį skirtumą).
Dėl tos pačios priežasties, atliekant natūrinių skaičių atimtį, ne tik atėminys, bet ir skirtumas bus mažesnis už turinį arba lygus jam.
O kada skirtumas bus lygus turiniui? Tai reikštų, kad pridėję atėminį prie skirtumo, nieko nepakeisime... Koks skaičius turi tokią savybę? Taip, nulis. Pavyzdžiui,
Taip pat galime pastebėti, kad jei iš skaičiaus atimsime jį patį, gausime nulį. Pavyzdžiui,
Šiuo atveju mes sukeitėme atėminį ir skirtumą vietomis, o lygybė liko teisinga. Ar taip bus ir kitais atvejais? Prisiminkime, ką jie atitinka sudėtyje. Tada, jei atėminys ir skirtumas atitinka dėmenis (žinomą ir ieškomą), o turinys - sumą, ir jei dėmenys gali būti keičiami vietomis, nepakeičiant sumos, tai ir atėminį galime keisti su skirtumu. Vadinasi, spėjimas, kad dėsningumas galioja ir kitais atvejais, yra teisingas.
Atimtis stulpeliu
[keisti]Atimtis stulpeliu atliekama panašiai, kaip ir sudėtis stulpeliu. Iš pradžių vienas po kitu užrašomi turinys ir atėminys, po jais braukiamas brūkšnys, o šalia jų rašomas minusas. Pavyzdžiui, jei atimsime stulpeliu 4013 iš 5625, iš pradžių rašysime:
| - | 5 | 6 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 1 | 3 | |
Tada, kaip ir sudėties atveju, nagrinėsime vienetų skiltis. Turinio vienetų skiltis yra 5, atėminio - 3. Atėmę 3 iš 5, gausime 2. Tai ir bus skirtumo vienetų skiltis:
| - | 5 | 6 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 1 | 3 | |
| 2 |
Po to (vėlgi - kaip ir sudėties atveju) nagrinėsime dešimčių skiltis. Turinio dešimčių skiltis yra 2, atėminio - 1. Atėmę 1 iš 2, gausime 1. Tai ir bus skirtumo dešimčių skiltis:
| - | 5 | 6 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 1 | 3 | |
| 1 | 2 |
Tada nagrinėsime šimtų skiltis. Kadangi 6 - 0 = 6, skirtumo šimtų skiltyje rašome 6:
| - | 5 | 6 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 1 | 3 | |
| 6 | 1 | 2 |
Galiausiai apskaičiuojame skirtumo tūkstančių skiltį:
| - | 5 | 6 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 1 | 3 | |
| 1 | 6 | 1 | 2 |
Vadinasi, 5625 - 4013 = 1612.
Tačiau šiuo atveju joks turinio skaitmuo nebuvo mažesnis už atitinkamą atėminio skiltį. O kas nutiktų, jei būtų? Pabandykime atimti 3318 iš 4224:
| - | 4 | 2 | 2 | 4 |
| 3 | 3 | 1 | 8 | |
Jau vienetų skiltyje turime tokį atvejį: 4 yra mažiau už 8. Ką daryti? Pagalvokime: ar sudėties lentelėje nėra jokio atvejo, kai prie 8 ką nors pridėję, gautume skaičių, kurio vienetų skiltyje yra 4? Yra - ir atitinka veiksmą 8 + 6 = 14. Tada atitinkama atimtis bus 14 - 8 = 6. Jei tik turėtume dar vienetą dešimčių skiltyje... Bet iš kur jį paimti? Iš turinio dešimčių skilties. Tai pažymime brūkšneliu ties ja, o skirtumo vienetų skiltyje rašome šešetą:
| - | 4 | 2 | 2' | 4 |
| 3 | 3 | 1 | 8 | |
| 6 |
Toliau atimame dešimčių skiltis. Bet prieš atimdami iš dvejeto vienetą, turime prisiminti, kad vieną vienetą iš to dvejeto jau esame paėmę anksčiau. Tad iš tikro turėsime atimti ne vienetą iš dvejeto, o vienetą iš vieneto - ir, suprantama, gausime nulį. Jį ir rašysime į skirtumo dešimčių skiltį:
| - | 4 | 2 | 2' | 4 |
| 3 | 3 | 1 | 8 | |
| 0 | 6 |
Panašiai atimsime ir šimtų skiltis. Reikės pasiimti vienetą iš tūkstančių skilties ir apskaičiuoti 12 - 3 = 9:
| - | 4' | 2 | 2' | 4 |
| 3 | 3 | 1 | 8 | |
| 9 | 0 | 6 |
Lieka tūkstančių skiltys. Tačiau po to, kai iš turinio tūkstančių skilties paėmėme vienetą, jos pasidarė lygios, tad jas atėmę gausime nulį. Jo rašyti skaičiaus pradžioje nereikia, tad gauname atsakymą: 4224 - 3318 = 906.
O kas bus jeigu iš kitos skilties paimti vieneto negalėsime? Panagrinėkime trečią pavyzdį - iš 1000 atimkime vienetą:
| - | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | ||||
Kaip matome, iš vienetų skiltyje esančio nulio mes negalime paprastai atimti vieneto; reikia vienetą paimti iš kitos skilties. Tačiau dešimčių skiltyje irgi yra nulis. Tad bandome vienetą imti iš šimtų skilties, o po to - iš tūkstančių. Tada tūkstančių skiltyje lieka nulis, o šimtų ir dešimčių - devynetai (10 - 1 = 9); iš jų nieko nereikia atimti, nes atitinkamose atėminio skiltyse nieko nėra:
| - | 1' | 0' | 0' | 0 |
| 1 | ||||
| 9 | 9 | 9 |
Vadinasi, 1000 - 1 = 999.
Pratimai
[keisti]1. Atimkite arba nurodykite, kad tai negalima naudojant natūrinius skaičius: a) 7-2, b) 5-6, c) 9-4, d) 15-3, e) 16-8, f) 53-13, g) 47-28, h) 271-115, i) 904-205, j) 802-335, k) 2354-1419.
Ats.: a) 5, b) negalima, c) 5, d) 12, e) 8, f) 40, g) 19, h) 156, i) 699, j) 467, k) 935.
2. Iki JAV pilietinio karo pradžios į JAV buvo priimtos trisdešimt keturios valstijos. Septynios iš jų iki Abraomo Linkolno tapimo JAV prezidentu 1861 m. kovo 4 d. paskelbė pasitraukiančios iš JAV ir sudarančios Amerikos Valstijų Konfederaciją. Kiek valstijų (neprisijungusių prie Konfederacijos) po to liko JAV?
Ats.: 27 valstijos.