Matematika/Homogeninės diferencialinės lygtys

Iš Wikibooks.

Peršokti į: navigaciją, paiešką

Šis straipsnis yra apie Homogeninių diferencialinių lygtčių sprendimą.

$x 2 d y - y (y + x) d x = 0,$

${dy\over dx}={y(y+x)\over x^2},\; x \neq 0,$

$u'x+u={ux(ux+x)\over x^2},$

y = u x,

y' = u' x + u,

u' x + u = u 2 + u,

u' x = u 2,

${du\over u^2}={dx\over x},$

$\int{du\over u^2}=\int{dx\over x},$

$-{1\over u}=\ln|x|+\ln C,$

$e^{-{x\over y}}=Cx.$

$y' x - x 2 - y = 0,$

y = u x,

y' = u' x + u,

(u' x + u) x - x 2 - u x = 0,

u' x + u - x - u = 0,

u' x = x,

${du\over dx}=1,$

$\int du=\int dx,$

u = x + C,

${y\over x}=x+C,$

y = x 2 + C x .

$xy'=y\ln{y\over x},\; y(1)=\sqrt{e},$

$y'={y\over x}\ln{y\over x},$

y = u x,

y' = u' x + u,

u' x + u = u ln u,

u' x = u (ln u - 1),

${du\over u(\ln u-1)}={dx\over x},$

$\int{d(\ln u-1)\over \ln u-1}=\int {dx\over x},$

ln | ln u - 1 | = ln | x | + ln C,

ln u - 1 = C x,

u = e C x + 1,

y = x e C x + 1,

$e^{1\over 2}=1\cdot e^{C\cdot 1+1},$

C = - 0.5,

$y=xe^{1-{x\over 2}}.$

${dy\over dx}={xy\over x^2-y^2},$

${y\over x}=u,$

y = u x,

${dy\over dx}=u+x{du\over dx},$

$u+x{du\over dx}={ux^2\over {y^2\over u^2}-u^2 x^2},$

$u+x{du\over dx}={u\over {y^2\over x^2 u^2}-u^2},$

$u+x{du\over dx}={u\over {u^2\over u^2}-u^2},$

$u+x{du\over dx}={u\over 1-u^2},$

$x{du\over dx}={u^3\over 1-u^2},$

${1-u^2\over u^3}du={dx\over x},$

$\int({1\over u^3}-{1\over u})du=\int{dx\over x},$

$-{1\over 2u^2}-\ln|u|=\ln|x|+\ln|C|,$

$-{1\over 2u^2}=\ln|uxC|,$

$-{x^2\over 2y^2}=\ln|Cy|,$

$x=y\sqrt{-2\ln|Cy|}.$

Gauta iš „http://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Homogenin%C4%97s_diferencialin%C4%97s_lygtys“

Kategorija: Matematika

Žiūrėti

Asmeniniai įrankiai

Paieška

Įrankiai