Matematika/Dešimtainės trupmenos

Dešimtainės trupmenos

Dešimtainės trupmenos - kitoks paprastųjų trupmenų užrašymo būdas.

Taip užrašant paprastąsias trupmenas, iš pradžių rašoma sveikoji dalis (gali būti nulis). Tada dedamas kablelis (kitose kalbose gali būti dedamas taškas). Po to rašomas skaitmuo, atitinkantis dešimtąsias, dar po to - šimtąsias, tūkstantąsias ir t.t. Kitaip tariant, kiekvienas tolesnis skaitmuo reiškia 10 kartų mažesnių trupmenų kiekį. Visi gauti skaičiai sudedami. Pavyzdžiui,

$0,3=0+{\frac {3}{10}}={\frac {3}{10}},$

$2,361=2+{\frac {3}{10}}+{\frac {6}{100}}+{\frac {1}{1000}}={\frac {2361}{1000}}=2{\frac {361}{1000}},$

$15,4895=15+{\frac {4}{10}}+{\frac {8}{100}}+{\frac {9}{1000}}+{\frac {5}{10000}}={\frac {154895}{10000}}=15{\frac {4895}{10000}}.$

Skaitmenys, rašomi po kablelio, ir vadinami ženklais po kablelio. Pavyzdžiui, 15,4895 turi keturis ženklus po kablelio (pirmas ženklas po kablelio yra 4, antras ženklas po kablelio yra 8 ir t.t.).

Po visų ženklų po kablelio galima prirašyti bet kokį kiekį nulių - jie skaičiaus nepakeis. Taip yra, nes jų prirašymas atitinka nulio, padalinto iš kažkokio skaičiaus (tad vis viena nulio) pridėjimą, kuris skaičiaus nepakeičia. Pavyzdžiui:

$0,30=0+{\frac {3}{10}}+{\frac {0}{100}}={\frac {3}{10}}=0,3.$

Dešimtainės trupmenos gali būti perskaitytos dviem būdais. Vienu atveju perskaitoma sveikoji dalis (kaip paprastųjų trupmenų atveju - su „sveiki“ ar „sveikų“), o tada skaitoma trupmena, lyg ji būtų paprastoji (jau sudėjus visas skaitmenis atitinkančias trupmenas). Pavyzdžiui, 3,15 būtų perskaityta „trys sveiki penkiolika šimtųjų“.

Kitas būdas yra perskaityti sveikąją dalį (be „sveiki“ ar „sveikų“), pridėti „kablelis“, tada perskaityti visus skaitmenis. Pavyzdžiui, 3,15 būtų perskaityta „trys kablelis vienas penki“.

Dešimtainių trupmenų palyginimas

Lyginant dešimtaines trupmenas pirma reikia palyginti sveikąsias dalis. Jei jos nėra lygios, didesnė yra ta trupmena, kurios sveikoji dalis didesnė. Pavyzdžiui:

$5>3\implies 5,3>3,3.$

Jei sveikosios dalys lygios, toliau lyginami skaitmenys po kablelio, kol jų yra. Kai randama pirma nelygių skaitmenų pora, didesnis iš jų rodys didesnę trupmeną. Pavyzdžiui:

$3,126<3,148.$

Čia pirma lyginamos sveikosios dalys (3 = 3). Kadangi jos lygios, toliau lyginami pirmi ženklai po kablelio (1 = 1). Kadangi jie lygūs, toliau lyginami antri ženklai po kablelio (2 < 4). Kadangi jie nelygūs, toliau nieko lyginti nebereikia, jau nustatyta, kad antroji trupmena didesnė.

Retos išimtys pasitaiko, kai trupmenos yra begalinės (turi be galo daug ženklų po kablelio, nelygių nuliui). Pavyzdžiui:

$1=0,999...$

Dešimtainių trupmenų sudėtis

Dešimtainės trupmenos gali būti sudėtos stulpeliu beveik tiksliai taip pat, kaip natūriniai skaičiai (žr. Matematika/Natūrinių skaičių sudėtis).

Skirtumas tas, kad sudedant dešimtaines trupmenas reikia sulygiuoti dėmenis taip, kad kableliai eitų vienas po kitu.

Pavyzdžiui, sudėkime 56,251 ir 46,36:

+	5	6	,	2	5	1
	4	6	,	3	6
1	0	2	,	6	1	1

Taigi, 56,251 + 46,36 = 102,611.

Dešimtainių trupmenų atimtis

Kaip ir sudėties atveju, dešimtainės trupmenos gali būti atimtos stulpeliu beveik tiksliai taip pat, kaip natūriniai skaičiai (žr. Matematika/Natūrinių skaičių atimtis).

Skirtumas vėlgi tas, kad atimant dešimtaines trupmenas reikia sulygiuoti turinį ir atėminį taip, kad kableliai eitų vienas po kitu. Skirtume kablelis irgi bus atitinkamoje vietoje.

Pavyzdžiui, atimkime 33,18 iš 42,242:

-	4'	2	,	2'	4	2
	3	3	,	1	8
		9	,	0	6	2

Vadinasi, 42,242 - 33,18 = 9,062.

Dešimtainių trupmenų daugyba

Dešimtainės trupmenos gali būti ir sudaugintos stulpeliu beveik tiksliai taip pat, kaip natūriniai skaičiai (žr. Matematika/Natūrinių skaičių daugyba).

Tačiau skirtumas tarp dauginimo būdų jau kiek kitoks.

Pirmiausiai daugyba atliekama nekreipiant dėmesio į kablelius, tada randama, kur sandaugoje dėti kablelį.

Pavyzdžiui, sudauginkime 23,14 ir 2,3. Iš pradžių sudauginkime nekreipdami dėmesio į kablelius:

	×	2	3,	1	4
				2,	3
+		6	9	4	2
	4	6	2	8
	5	3	2	2	2

Dabar reikia rasti vietą kableliui sandaugoje.

Tam reikia suskaičiuoti, kiek skaitmenų po kablelio yra abiejuose dauginamuosiuose, bei gautus skaičius sudėti. Suma rodys, kiek skaitmenų po kablelio bus sandaugoje.

Šiuo atveju pirmasis dauginamasis turi du skaitmenis po kablelio, o antrasis - vieną. Vadinasi, sandauga turės 2 + 1 = 3 skaitmenis po kablelio:

	×	2	3,	1	4
				2,	3
+		6	9	4	2
	4	6	2	8
	5	3,	2	2	2

Taigi, 23,14 · 2,3 = 53,222.

Kodėl galime taip daryti? Pasižiūrėkime, kaip atrodytų atitinkami veiksmai su paprastosiomis trupmenomis.

Iš pradžių norėjome sudauginti 23,14 ir 2,3. Tai atitinka 2314 šimtųjų ir 23 dešimtąsias:

$23,14\cdot 2,3={\frac {2314}{100}}\cdot {\frac {23}{10}}.$

Daugindami paprastąsias trupmenas turime sudauginti vardiklius ir skaitiklius:

$23,14\cdot 2,3={\frac {2314}{100}}\cdot {\frac {23}{10}}={\frac {2314\cdot 23}{100\cdot 10}}={\frac {53222}{1000}}=53,222.$

Kaip matome, iš pradžių, nekreipdami dėmesio į kablelius, mes radome skaitiklį, o suradę skaičių po kablelio kiekių sumą, atsižvelgėme ir į vardiklį.

Dešimtainių trupmenų dalyba

Dešimtainės trupmenos gali būti dalinamos kampu, kaip ir natūriniai skaičiai (žr. Matematika/Natūrinių skaičių dalyba).

Dalijant kampu pirmiausiai reikia pasiekti, kad daliklis būtų natūrinis skaičius. Tam reikia dalinį ir daliklį padauginti iš to paties skaičiaus (kas atitiktų paprastųjų trupmenų išplėtimą; žr. Matematika/Paprastosios trupmenos). Paprasčiausia tai padaryti perkeliant kablelį dalinyje ir daliklyje per tiek pat vietų į dešinę, kas atitinka kartotinį dauginimą iš dešimties.

Pavyzdžiui, padalykime 6,357 iš 0,3.

Pirmiausiai perkelkime kablelį. Gausime 63,57 ir 3. Tad dalinkime 63,57 iš 3:

	6	3,	5	7	3
	6				2	1,	1	9
	0	3
		3
		0	5
			3
			2	7
		-	2	7
				0

Kaip matome, kai reikia paimti pirmą skaitmenį po kablelio dalinyje, kablelis dedamas ir dalmenyje.

Jei skaitmenys dalinyje baigiasi, visada galima laikyti, kad tolesnis skaitmuo yra nulis. Pavyzdžiui, dalijant 1 iš 3:

	1,	0	3
		9	0,	3	3	3...
		1	0
			9
			1	0
				9
				1

Kaip matome, dalyba nesibaigs. Sakoma, kad rezultatas yra begalinė periodinė dešimtainė trupmena, kurios periodas yra 3. Galima tai užrašyti kaip 0,(3).

Pratimai

1. Paversti į paprastąsias trupmenas: a) 0,5, b) 0,35, c) 0,65, d) 1,22, e) 3, f) 0,05, g) 0,335, h) 1,25.

Ats.: a) 5/10 = 1/2, b) 35/100 = 7/20, c) 65/100 = 13/20, d) 122/100 = 61/50 = 1 + 11/50, e) 3/1, f) 5/100 = 1/20, g) 335/1000 = 67/200, h) 125/100 = 5/4 = 1 + 1/4.