Matematika/Bernulio diferencialinė lygtis

Iš Wikibooks.

Peršokti į: navigaciją, paiešką

Bernulio diferencialinė lygtis

    • y' + P(x)y = Q(x)ym,
y − my' + P(x)y1 − m = Q(x),
y1 − m = z, z' = (1 − m)y − my',
(1 − m)y − my' + (1 − m)P(x)y1 − m = (1 − m)Q(x),
z' + (1 − m)P(x)z = (1 − m)Q(x).
Bernulio lygtį galima spręsti panašiai kaip ir pirmosios eilės tiesinę, naudojant keitinį y = uv.


  • xy' + y + x2y2ex = 0,
y'+{y\over x}=-xy^2 e^x;
y = uv, y' = u'v + uv',
u'v+uv'+{uv\over x}=-xu^2 v^2 e^x,
v(u'+{u\over x})+uv'=-xu^2 v^2 e^x;
u'+{u\over x}=0,
{du\over dx}=-{u\over x},
\int {du\over u}=-\int {dx\over x},
ln | u | = − ln | x | ,
u={1\over x};
{1\over x}v'=-x\cdot {1\over x^2}v^2 e^x,
v' = − v2ex,
\int{dv\over v^2}=-\int e^x dx,
-{1\over v}=-(e^x+C),
v={1\over e^x+C};
y=uv={1\over x(e^x+C)}.
  • {dy\over dx}-{3\over x}y=-x^3 y^2,
{1\over y^2}{dy\over dx}-{3\over x}{1\over y}=-x^3,
{1\over y}=z,\; -{1\over y^2}{dy\over dx}={dz\over dx},
{dz\over dx}+{3\over x}z=x^3;
šią tiesinę lygtį integruosime variacijos metodu,
{dz\over dx}+{3\over x}z=0,
\int{dz\over z}=-3\int{dx\over x},
ln | z | = − 3ln | x | + ln | C | = ln | Cx − 3 | ,
z={C\over x^3};
C = C(x), z = C(x)x − 3, {dz\over dx}={dC(x)\over dx}{1\over x^3}-{3C(x)\over x^4},
{dz\over dx}+{3\over x}z={dC(x)\over dx}{1\over x^3}-{3C(x)\over x^4}+{3\over x}{C(x)\over x^3}=x^3,
{dC(x)\over dx}{1\over x^3}=x^3,
{dC(x)\over dx}=x^6,
\int dC(x)=\int x^6 dx,
C(x)={x^7\over 7}+C_1;
z={C(x)\over x^3}={{x^7\over 7}+C_1\over x^3}={x^4\over 7}+{C_1\over x^3},
z={1\over y},\; {1\over y}={x^4\over 7}+{C_1\over x^3},
y={1\over {x^4\over 7}+{C_1\over x^3}}={1\over {x^7+7C_1\over 7x^3}}={7x^3\over x^7+7C_1}.
Gauta iš „http://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Bernulio_diferencialin%C4%97_lygtis“