Formulynas/Algebra

Iš Wikibooks.

< Formulynas

Peršokti į: navigaciją, paiešką

Turinys

1 Algebra

[redaguoti] Algebra

[redaguoti] Skaičiai

$\mathbb{N}$ - natūrinių skaičių aibė: ${1, 2, 3, \ldots}$ .
$\mathbb{Z}$ - sveikųjų skaičių aibė: ${\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots}$ .
$\mathbb{Q}$ - racionaliųjų skaičių aibė. Ją sudaro visi skaičiai kurios įmanoma užrašyti trupmeniniu pavidalu.
$\mathbb{I}$ - iracionaliųjų skaičių aibė. Ją sudaro visi skaičiai, kurių neįmanoma užrašyti trupmenomis. Tokių skaičių išviso neįmanoma užrašyti, todėl juos paprastai žymime raidėmis $(\pi, e, \ldots)$ arba tiesiog rašome nesuskaičiuotus reiškinius $(\sqrt{2}, \cos{3}, \ldots)$ .
$\mathbb{R}$ - realiųjų skaičių aibė. Ją sudaro visi racionalieji ir iracionalieji skaičiai.
$\mathbb{C}$ - kompleksinių skaičių aibė. Aibė skaičių pavidalo $a + i b$ , čia $a, b$ - realieji skaičiai, $i=\sqrt{-1}$ .
$\infty$ - begalybė. Sutartinis žymėjimas, reiškiantis kiek norima didelį skaičių.
Aibes galima išdėstyti taip: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .
Teisinga, jog $\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}=\mathbb{R}$ ir $\mathbb{Q} \cap \mathbb{I}=\emptyset$ .

[redaguoti] Skaičių intervalai

Tarkime, jog $a < b$ , ir $a, b \in \mathbb{R}$ . Tuomet

$[a,b] = \left\{x \|\, a \leq x \leq b \right\}$		uždaras intervalas arba atkarpa
$(a,b) = \left\{x \|\, a < x < b \right\}$		atviras intervalas
$[a,b) = \left\{x \|\, a \leq x < b \right\}$		pusiau atviras arba pusiau uždaras intervalas
$(a,b] = \left\{x \|\, a < x \leq b \right\}$		pusiau atviras arba pusiau uždaras intervalas
$(a,\infty) = \left\{x \|\, a < x < \infty \right\}$		atviras intervalas arba atvirasis spindulys
$[a,\infty) = \left\{x \|\, a \leq x < \infty \right\}$		pusiau atviras arba spindulys
$(-\infty,\infty) = \mathbb{R}$		visa realiųjų skaičių tiesė

[redaguoti] Pagrindinės realiųjų skaičių savybės (aksiomos)

Bet kuriems realies skaiciams $a, b, c$ yra teisingos

Sudėtiės aksiomos:

$a + b = b + a$ - komutatyvumas arba sudėties perstatymo dėsnis.
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - asociatyvumas arba sudėties jungimo dėsnis.
$a + 0 = a$ - neutralaus skaičiaus arba nulio egzistavimas.
$a + ( - a) = 0$ - priešingo skaičiaus egzistavimas.

Daugybos aksiomos:

$a \cdot b=b \cdot a$ - komutatyvumas arba daugybos perstatymo dėsnis.
$a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$ - asociatyvumas arba daugybos jungimo dėsnis.
$a \sdot 1=a$ - neutralaus skaičiaus arba vieneto egzistavimas.
$a \cdot (b + c)=a \cdot b + a \cdot c$ - distributyvumas arba skirstymo dėsnis.

[redaguoti] Realiųjų skaičių nelygybės

Sakysime, jog $a,b,c \in \mathbb{R}$ , tada teisingos šios nelygybės

Jei $a > b$ , tai $b < a$ .
Jei $a > b$ ir $b > c$ , tai $a > c$ .
Jei $a > b$ , tai $a + c > b + c$ .
Jei $a > b$ ir $c > 0$ , tai $a c > b c$ .
Jei $a > b$ ir $c < 0$ , tai $a c < b c$ .
Jei $a > 1$ , tai $a n > a m$ , kai $n>m, m,n \in \mathbb{N}$ .
Jei $0 < a < 1$ , tai $a n < a m$ , kai $n>m, m,n \in \mathbb{N}$ .

[redaguoti] Realiojo skaičiaus modulis

Modulio apibrėžimas:

$|a|= \begin{cases} a, \mathrm{kai} \, a \geq 0, \\ -a, \mathrm{kai} \, a<0 \, \end{cases}$

Modulio savybes:

$|a| \geq 0$
$| a | = | - a |$
$| a | 2 = a 2$
$\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}$ , su sąlyga, kad $b \neq 0$
$|a \cdot b|=|a| \cdot |b|$
$|a+b| \leq |a| + |b|$
$|a-b| \geq |a| - |b|$
$a b = \begin{cases} |a| \cdot |b|, \mathrm{kai} \, (a>0 \, \mathrm{ir} \, b>0) \, \mathrm{arba} \, (a<0 \, \mathrm{ir} \, b<0) \\ -|a| \cdot |b|, \mathrm{kai} \, (a>0 \, \mathrm{ir} \, b<0) \, \mathrm{arba} \, (a<0 \, \mathrm{ir} \, b>0) \end{cases}$

[redaguoti] Sveikųjų skaičių dalumo požymiai

Sumos dalumo teorema: jeigu $\frac{a}{c} \in \mathbb{Z}$ ir $\frac{b}{c} \in \mathbb{Z}$ , tai ir $\frac{a \cdot b}{c} \in \mathbb{Z}$ .
Sandaugos dalumo teorema: jeigu $\frac{a}{c} \in \mathbb{Z}$ ir $\frac{b}{d} \in \mathbb{Z}$ , tai ir $\frac{a \cdot b}{c} \in \mathbb{Z}$ , ir $\frac{a \cdot b}{d} \in \mathbb{Z}$ .
Sveikasis skaičius dalyjasi iš 2, kai jo paskutinis skaitmuo dalyjasi iš 2.
Sveikasis skaičius dalyjasi iš 3, kai jo visų skaitmenų suma dalyjasi iš 3.
Sveikasis skaičius dalyjasi iš 4, kai iš 4 dalyjasi dviženklis skaičius, sudarytas iš paskutinių dviejų skaičiaus skaitmenų arba paskutniai skaitmenys yra nuliai.
Sveikasis skaičius dalyjasi iš 5, kai jo paskutinis skaitmuo yra 5 arba 0.
Sveikasis skaičius dalyjasi iš 11, kai lyginėse ir nelyginėse vietose esančių skaitmenų sumos sutampa arba skiriasi skaičiumi, kuris yra 11 kartotinis.

[redaguoti] Aritmetinė šaknis ir jos savybės

...

[redaguoti] Logaritmai

...

[redaguoti] Laipsnis

...

Šis knygos puslapis yra nebaigtas. Jūs galite prisidėti prie Vikiknygų papildydamas šį puslapį.

Formulynas/Algebra

Iš Wikibooks.

Turinys

[redaguoti] Algebra

[redaguoti] Skaičiai

[redaguoti] Skaičių intervalai

[redaguoti] Pagrindinės realiųjų skaičių savybės (aksiomos)

[redaguoti] Realiųjų skaičių nelygybės

[redaguoti] Realiojo skaičiaus modulis

[redaguoti] Sveikųjų skaičių dalumo požymiai

[redaguoti] Aritmetinė šaknis ir jos savybės

[redaguoti] Logaritmai

[redaguoti] Laipsnis

Žiūrėti

Asmeniniai įrankiai

Paieška

Naršymas

Print/export

Įrankiai